设 是概率空间， 是给定的参数集，若对每个固定的时刻 ，有一个随机变量 与之对应，则称随机变量族 是一个「随机过程」（Random Process），简记为随机过程 或

设 是概率空间， 是给定的参数集，若对每个事件 ，总可以以某种规则确定一个时间函数 ，称为「样本函数」或轨道），，则对于所有 ，就得到一个样本的集合，称此函数为「随机过程」（Random Process），简记为随机过程

本质上是横竖「切割」方法不同。随机过程 可以认为是定义在 上的一个二元函数

• 对于固定的 ， 是一个随机变量。这是一个标量，它表示时刻 所处的状态， 所有可能的状态构成的集合称为状态空间
• 对于固定的 ， 是随机过程 的一个样本函数（轨道），即定义在 上的普通函数。

用重复抛硬币定义一个随机过程

求 的一维分布函数 和二维分布函数 ，并且求出 的均值函数 ，方差函数

解：

给出了 的表达式，所谓的抛硬币，就是告诉我们随机过程 在 时刻的取值有一半的概率为 ，另一半为 。由题意，可以直接写出分布律

，

因此 的分布函数为

而对于二维分布函数，在 和 两个时刻的抛硬币是相互独立的，意味着二维分布函数就等于各自分布函数相乘。同样写出分布律

因此有

再求其数字特征，首先根据数学期望的定义有

然后再根据方差定义

由不相关性

设随机过程

其中， 和 是相互独立的随机变量，且 ，，求 的均值函数和协方差函数

分析：

比如 时，样本函数为

由于独立性，且对于随机变量，含 的项为常数，因此可以提出来

再来求协方差函数。协方差函数和自相关函数有关系

于是可得到

注意到

因此我们可以得出结论，此随机过程的均值函数是常数，而自相关函数只和时间差有关，因此这是一个广义平稳过程。

设 是正交增量过程， 为有限区间，且规定 ，当 时，求其协方差函数$ B_X(s,t)$。

解：由正交增量过程

不会写了

设随机变量 具有概率密度 ，令

求随机过程 的一维概率密度、均值和相关函数

解：

这里需要用到《概率论与数理统计》中提到的“随机变量函数的分布”，提到的分布函数法。设连续型随机变量 有密度函数 ， 严格单调且反函数 有连续导数，则 也是连续型随机变量，其密度函数为

对于本题而言， 的密度函数就可以表示为

而求解均值和相关函数时，按照定义进行求解即可。注意到这里的均值的计算，需要表示成 的函数

设 为实随机过程， 为任意实数，令

证明：随机过程 的均值函数和相关函数分别为 的一维和二维分布函数。

解：

直接由定义式

设随机过程 ，其中 是相互独立的随机变量，且

求 的均值函数和协方差函数

解：

对于 而言，有

对于给定的 ， 服从二项分布，因此有

当 时，

同理 时

故

设 是独立同分布的随机变量，且

其中 为常数。证明随机过程 是广义平稳过程，但不是严平稳过程。

解：

首先，广义平稳过程要求均值不是时间 的函数，且自相关函数只与时间差 有关。而严平稳过程从定义上来说，要求无穷多维分布都对应相等。现在我们针对这三个问题分别进行分析。首先，我们根据均值的定义式

故 与时间无关，第一个条件满足。接下来看第二个条件

注意到 和 是独立的，且 ，则后两项期望为零。对前两项应用和差化积可以得到

注意到 ，因此

自相关函数只与时间差 有关。第二个条件满足，次随机过程是宽平稳过程。接下来看第三个条件，显然 的分布与 有关，当 变化时，无法满足同分布，因此次随机过程不是严平稳随机过程

设 是参数为 的维纳过程，令 为常数。证明： 是平稳正态过程，相关函数

解：

由题意知 是维纳过程，，故

此可以得到均值为零 ，再来看相关函数，设

根据维纳过程的性质，可以进行拆分

由于是独立增量过程，故其中

因此相关函数可表示为

因此是平稳的，相关函数如上

考察两个谐波随机信号 和 ，其中

其中 和 为正的常数， 是 内均匀分布的随机变量， 是标准正态分布的随机变量。求 的均值，方差和相关函数。若 与 独立，求 与 的互相关函数

解：

首先对于 ，直接根据定义

再求互相关函数