定义

应该建多少监狱来容纳犯人？

泊松过程是一类时间连续状态离散的随机过程，也是时间连续状态离散的马尔可夫过程

例如

  • 电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数
  • 火车站一段时间内购买的火车表的旅客数
  • 机器在一段时间内发生故障的次数

这些问题提炼出来，发现泊松过程的数学模型能够很好的描述此类问题。

宏观定义

若计数过程 满足

  • 是平稳独立增量过程
  • 在任意长度为 的区间内，事件 A 发生的次数服从参数 的泊松分布，即对任意 ，有

则称 为具有参数 的「泊松过程」（Poisson Process）

微观定义

若计数过程 满足

其中 表示 的高阶无穷小。换而言之，在充分小的时间内，最多有一个事件发生，而不能有两个或两个以上事件同时发生。

则称 为具有参数 的「泊松过程」（Poisson Process）

泊松过程不能有两个人同时挤进门

什么是「充分小」？需要考虑实际问题。

两种定义的等价性（补充内容）

两种定义本质上是等价的。证明如下：

从宏观定义推微观定义：对于充分小的 ，有

得证。从微观定义推宏观定义：令 。先证明：

所以有

当 ，，则

将 代入上式，则 。其次，假设 成立，则 成立。

当 实

可以得到：

将 ， 代入上式可得

当 时，

将

代入可以得到

将 代入上式，则

最后得到

泊松过程的数字特征

1. 均值函数

设 是泊松过程，对任意的 ，且 ，有

因此，泊松过程不是一个平稳随机过程。

证明（补充）

由于泊松过程的第二个性质，可以将时间间隔 分成 个小段，每个小段的长度为 。则在第 个小段内，事件发生的次数服从参数为 的泊松分布。因此，在时间间隔 内，期望事件发生次数可以近似地表示为：

其中， 表示第 个小段的结束时间。

因此，泊松过程在任意时间 的期望事件发生次数为 。

2. 方差函数

设 是泊松过程，对任意的 ，且 ，有

3. 相关函数

设 是泊松过程，对任意的 ，且 ，有

证明（补充）

不妨设

根据 和 的独立性

4. 协方差函数

设 是参数为 的泊松过程，则其协方差函数

证明（补充）

泊松过程重要的三种分布

用泊松过程来表述服务系统接受服务的顾客数，则顾客到来接受服务的时间间隔、顾客排队的等待时间等分布问题都需要进行研究。下面讨论三个时间分布问题

非齐次泊松过程

复合泊松过程

例题

例 1

设在 内事件 A 已经发生 次，且 ，对于 ，求

分析：这是条件概率

解：

注意，在 的情况下，事件 与事件 是「完全等价」的。因为当且仅当在 的时间段发生了 次事件 才有 ，因此上式可以将事件 与事件 互换，即

直接代入泊松过程公式即可。

例 2

设在 内事件 A 已经发生 次，求第 次事件 发生的时间 的条件概率密度函数

解：

当 充分小时，条件概率

将上式两边同除以 ，并令 ，取极限后，根据条件概率密度函数的定义，左边就得到概率密度函数

例

假设 和 是速率分别为 和 的独立的泊松过程，证明 是速率为 的泊松过程。进而，证明这个联合过程的首个事件来自于 的概率是 ，它独立于此事件发生的时刻。

解：

显然， 满足：

  • 时，
  • 是平稳增量过程

现对任意 ，有

根据泊松分布的定义， 是一个参数为 的泊松过程。记首个事件发生在时刻 ，而此事件可能由 引起，也可能因为 引起。因此事件来自于 的概率可以表示为

来自引起引起引起

其中

故上式化为

来自

可见，该事件的概率独立于此事件的发生时刻。

例

设 和 是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为 和 ，记 为过程 的第 次事件到达时间， 为过程 的第 次事件到达时间，求 ，即第一个泊松过程的 次事件发生比第二个泊松过程的第 次事件发生早的概率。

解：

设 的取值为 ， 的取值为 ，则根据到达时间的 Gamma 分布有

则

其中 为在直线 下方的部分。 为 和 的联合概率密度函数，考虑到两者相互独立，则有

进一步代入有

利用 次分部积分，可以得到

例 13

设 和 是参数分别为 和 的齐次泊松过程，证明：在 的任一到达时间间隔内， 恰有 个事件发生的概率为

解：

另一种思路，令 为 的任一到达时间价格并且 ，即 的分布密度为

由此可知

另一种方法可以用分布密度函数来积分计算。令 为 的任意到达时间间隔并且 ，即 的分布函数为

由此可知

例4

设 是具有跳跃强度 的非齐次泊松过程，，求 和

分析：

显然是个非齐次泊松分布

解：

例5

设某路公共汽车从早上 5 时到晚上 9 时有车发出，乘客流量如下：

  • 5 时按平均乘客为 200 人/时计算;
  • 5 时至 8 时乘客平均到达率按线性增加
  • 8 时到达率为 1400人/时
  • 8 时至 18 时保持平均到达率不变
  • 18 时到 21 时从到达率 1400 人/时按线性下降，
  • 到 21 时为 200 人/时。

假定乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求 12 时至 14 时有 2000 人来站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。

分析： 是时间的函数，因此是非齐次泊松分布

解：

为方便起见，将时间 5 时至 21 时平移为 0 时至 16 时，则乘客的到达率可以表示为

上式中

例

某商店每日 8 时开始营业，顾客到达率满足：

  • 在 8 时顾客平均到达率为 5 人/时
  • 从 8 时到 11 时平均顾客到达率线性增加
  • 11 时达到最高峰 20 人/时
  • 11 时到 13 时，平均顾客到达率保持不变
  • 13 时到 17 时，顾客到达率线性下降
  • 到 17 时顾客到达率为 12 人

假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在 8:30-9:30 无顾客到达商店的概率是多少？在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少？

解：

这是一个非齐次泊松过程，其 是时间 的函数。根据相关定义和定理，有 ，及

现在看题目，由题意，设 8 时为 ，则 8:30-9:30 满足函数 ，则此时有

其中

故原式

例6

设移民到某地区定居的户数是一个泊松过程，平均每周内有 2 户定居，但每户的人口数是随机变量，一户 4 人概率为 1/6，一户 3 人概率为 1/3，一户 2 人概率为 1/3，一户 1 人概率为 1/6，求 5 周内移民到该地区的人口的数学期望与方差。

解：

设 为 内的移民户数， 表示每户的人口数，则在 内的移民人数为

这是一个复合泊松过程， 为独立同分布的随机变量

则有 ，

例8

在某高速公路段上超速的汽车数量形成平均每小时 3 辆的泊松过程，用 表示检测雷达记录 辆超速汽车所用的时间，计算

解：

意味着当 时刻到来时，第 辆车还没有出现，也就是说， 这段时间记录的车辆不足 辆。而是 辆到 辆

例 9

已知仪器在 内发生振动的次数 是具有参数 的泊松过程。若仪器振动 次就会出现故障，求仪器在时刻 正常工作的概率

解：

正常工作

例 10

设服务器在 内被访问的次数 时具有强度（每分钟）为 的泊松过程，求：

  • 两分钟内收到 3 次访问的概率
  • 第二分钟内收到第三次访问的概率

解：

两分钟内收到 3 次访问的概率

第二分钟内收到第三次访问，可能有几种情况

  • 第一分钟无访问，第二分钟三次及以上访问
  • 第一分钟一访问，第二分钟两次及以上访问
  • 第一分钟二访问，第二分钟一次及以上访问

因此可以得出

例 12

某机构从上午 8 时开始有无数多人排队等待服务，设只有一名工作人员，每人接受服务的时间是相互独立且服从均值为 20 分钟的指数分布。到中午 12 时．平均有多少人离去？有 9 人接受服务的概率是多少？

解：

根据时间间隔分布定理，指数分布可以理解成「只发生一次的泊松分布」，因此整个事件来说，服务过的人数服从 的泊松过程，故根据定义

（人）

Interactive Graph
Table Of Contents
定义
宏观定义
微观定义
两种定义的等价性（补充内容）
泊松过程的数字特征
1. 均值函数
证明（补充）
2. 方差函数
3. 相关函数
证明（补充）
4. 协方差函数
证明（补充）
泊松过程重要的三种分布
非齐次泊松过程
复合泊松过程
例题
例 1
例 2
例
例
例 13
例4
例5
例
例6
例8
例 9
例 10
例 12