第 次事件 A 出现的时刻定义为「等待时间」，用 来表示
因此 是 个相互独立的指数分布随机变量之和。那么，等待时间服从什么样的分布？
设 是与泊松过程 对应的一个等待时间序列，则 服从参数为 与 的 「Gamma 分布」，也称爱尔兰（erlang）分布，其概率密度为
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注意到， 和 是等价的两个概念，都表示着 时刻第 次事件已经发生过了
对上式求导，得到 的概率密度函数是
此外，还可以采用特征函数法证明。 的特征函数可以表示为
由 ，因此 的特征函数就是这些 特征函数相乘。
再从特征函数反推概率，通过 Fourier 逆变换
此积分需要使用留数定理，在此不做继续的详细计算。