一、特殊矩阵

将个数排成行列得到的数表称为「矩阵」（Matrix），简记为
与行列式不同，行列式的行数等于列数且行列式是一个确定的值，矩阵仅仅是一个数表。

二、矩阵运算

四、哈达玛积

两个矩阵的按元素乘法叫做哈达玛积（Hadamard Product），用来表示

矩阵与线性方程组

可以表示成简洁的矩阵方程

其中

矩阵多项式

$设时阶方阵，定义的非负整数幂如下$

$易证但一般$

$设$

$是的多项式，是阶方阵，定义$

矩阵的转置

$将矩阵的行与列互换后得到的矩阵，称为的转置矩阵，记为$

性质

证明

对称矩阵与反对称矩阵

定义

$设是阶方阵，如果，则称是对称方阵；如果，则称是范对称方阵$

性质

$是对称方阵$

$是反对称矩阵$

由上条，反对称矩阵的对角线上的元素都是0

对称矩阵的和还是对称矩阵，但乘积一般不再是对称矩阵

$对任意的矩阵，和都是对称矩阵$

$任何一个阶方阵都可以表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和$

证明

矩阵的微分

标量关于列向量的导数是一个行向量，如

则有

列向量关于标量的导数，相当于每个数对标量求导后拼成的函数。

列向量对列向量的导数，可以拆解成一个个标量再进行求导，如

则有

类似于实数，我们希望定义“矩阵的除法”，即乘以某个矩阵的倒数。

考虑如何定义矩阵的倒数

I为单位矩阵，而对于矩阵A，是否存在矩阵B，使得B为A的“倒数”？

一、定义

$设为阶方阵，若存在阶方阵，使得$

$则称是的逆矩阵，并称是可逆矩阵$

注

$由于可交换，因此可逆矩阵一定是方阵$

逆矩阵唯一性

$设和都是的逆矩阵$

则

故 $，的逆矩阵唯一$

$因为的逆矩阵是唯一的，我们用记号来表示的逆矩阵$

矩阵可逆的充要条件

$因为，取行列式，，从而可逆的必要条件，接下来挣米这个条件是充分的$

伴随矩阵

$设阶方阵$

$由的行列式中元素的代数余子式构成的阶方阵$

$阶方阵可逆的充要条件式此时$

行列式不等于零的方阵称为非奇艺矩阵，由上面的定理，可逆矩阵又称为非奇艺矩阵

充分性的证明

综上，

$阶方阵可逆的充要条件式此时$

二、计算

特别的，若为二阶矩阵

若，则

在定义中，要说是的逆矩阵，必须要和两个式子同时成立。但是上面的定理告诉我们，其中任意一个条件就足以保证是可逆矩阵

例题

例1

$已知证明是可逆矩阵$

解：

由多项式除法

$则因此可逆$

例2

$若是幂等矩阵，证明可逆$

解：

$因此可逆$

性质

重回 Cramer 法则

$考虑线性方程组$

$两边左乘得到方程的解$

这个结果与用Cramer 法则求得的解是一样的

分块矩阵

$一般地，对于一个矩阵$

常用分块

按行分块

按列分块

对角块矩阵

$当一个阶方阵的非零元都集中在主对角线附近时，可以将分块成下面的对角块矩阵$

$其中是阶方阵，$

$条件：本身是方的，对角线上的块子也要是方的$

准三角形矩阵

$其中每个都是方阵，则$

分块矩阵的运算

加法

数乘

转置

对分块矩阵取转置，除了互换行、列的位置之外，还要对每一个子块取转置！

乘法

$设为矩阵，为矩阵，对，分块$

$要求对的列的分块方式与的行的分块方式一样！$

这相当于把每个子块看成一个元素来进行普通的矩阵乘法运算

取逆

若子矩都可逆，则大矩阵可逆，且大矩阵的逆就是每个小区块的逆拼起来

例题

$若可逆，求$

解：

若两个矩阵相乘等于零矩阵，而其中一个可逆，则另一个一定为零矩阵

矩阵的初等变换

对矩阵做可以做同解变形

行初等变换

行阶梯矩阵

若一个矩阵每行的第一个非零元素所在的元素所在的列数是逐行严格递增的，一旦出现零行，其后面都是零行

行标准型

每一行的第一个非零元为1，且所在的列数是逐行严格递增的

经过列初等变化，我们可以把化成

其中r是A的行标准形中非零行的行数

伤式称为矩阵A的标准形

初等矩阵

对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵

初等矩阵可以分为行初等矩阵和列初等矩阵，它们又各自分为三种

$交换的第行与第行得到的矩阵记为$

$将的第列乘以后加到第列上得到的矩阵记为$

性质

$（行变换）$

$（列变换）$

初等矩阵的逆是它自己

任何一个矩阵A，一定可以找到可逆矩阵P和Q，使PAQ=标准形

如果A可逆，则Ir000为单位矩阵

可逆矩阵就是初等矩阵的乘积

若A经过初等变化能够变成B，则称A与B等价（对同型矩阵而言）

矩阵的秩

在初等变化中，矩阵的非零行的行数是不会变的，有多少个非零行，就会产生多少个首1.

定义

$考虑矩阵，从中取出行列交叉处等元素组成的阶行列式，叫做的一个阶子式$

$一个矩阵的非零子式阶的最大值，称为矩阵的秩$

规定：零矩阵的秩为0

性质

$若是矩阵，则$

$阶方阵的秩当且仅当的行列式不为当且仅当可逆，此时称为满秩矩阵$

$满秩矩阵可逆矩阵非奇异矩阵$

$若有一个阶子式不等于，则若对所有阶子式都等于，$

定理

定理1

$初等变化不会改变矩阵的秩$

由于初等变化行阶梯型能够找出最多的非零行，因此可以直接看上三角行列式

定理2

$设是一个矩阵，与分别是与阶的可逆矩阵，则$

$容易看出，的等价标准形中，，从而$

两个同型的矩阵等价当且仅当它们的秩相等！

定理3

矩阵乘积的秩不超过每个因子的秩

反向的关系，我们有 Sylvester 公式

$设分别是，矩阵，则$

$特别的，若，则$

定理4

和的秩不超过秩的和

例题

例1

$若是阶幂等矩阵，即，证明：$

解：

运用定理3，4即可证明

例2

$对合矩阵：，求证：$

解：

$，$