一、前言

在模拟电路中，存在许多电容，包括耦合电容（看得见的电容）和三极管的结电容（看不见的电容）。之前对于电容的分析通常非常简单粗暴，在交流分析中视为短路，直流分析中视为开路，从不考虑频率。

但在某些电路中，会有放大指定频率的需求。比如某音响放大电路，需要放大频率为的人声，忽略其他高频和低频的噪声。在这种情况下，我们就必须研究频率的影响。在本章中，我们需要考虑频率响应，即当频率很低或很高时，幅值如何变化，如何通过这种幅度的变化来实现对指定频率的信号进行处理。

二、基础概念

1. 贝和分贝

「贝尔」（Bell）是量度两个相同单位之数量比例的计量单位，记为，其定义为：“两个同类功率量或可与功率类比的量之比值的常用对数”。用公式表示为

其中和为作比较的两个功率值。但在信号领域，能量通常与电压的平方成正比，因此对于电压而言，贝尔的公式为

在实际应用中，1 贝尔相当于两信号的能量相差十倍，相差过大使用不便，因此通常用「分贝」来替代「贝」，记为。换算关系为

比如是的，即，换算成倍数就是倍

2. 通带

在频幅响应曲线上，相较于最大频幅相差的点，即刚好功率是最大频幅功率的一半的点叫做「三分贝点」或「半功率点」，其中频率高于最大幅度频率的点叫做「频率上限」和「频率下限」，分别记为和

根据定义，在频率上限和下限，功率为最大功率的一半，那么根据，这两个点的振幅为原来的倍

频率上限和下限就是信号幅度较大的频率范围。我们称频率上限和下限之间的频率范围为「通带」，频率上限和下限之差为，简称「带宽」（Bandwidth），公式为

由于，工程上有时认为

三、等效电路

对于一般的三极管放大电路，根据之前的知识，在不考虑任何电容的情况下，其电压增益为

现在考虑真实的电路。一般的三极管放大电路如下图，包括了输入/输出端的耦合电容（）和旁路电容（）这些看得见的电容，以及在三极管内 PN 结产生的看不见的电容（）。其中为大电容，为小电容。

根据容抗公式我们知道，频率越高，容抗越低

对于通带，频率不大不小时，按照原来的思路，我们认为短路，开路
对于低频范围不再短路，而仍开路
对于低频范围仍短路，而不再开路

高频的分析难度更大，因为要考虑不再开路的结电容，这部分知识是之前没有涉及的

四、系统传输函数

根据《电路理论》的相关知识，为了更好的研究频率变化对各元件的影响，引入复频率，那么容抗就可以表示为，感抗表示为。

当频率变化时，复频率随之变化，由于电路中存在电容和电感，因此复频率变化会影响电路对输入信号的放大情况，即输入信号和输出信号之间的关系是关于复频率的复变函数。这里引入几个传输函数来衡量输入信号和输出信号的关系。

电压传输函数（Voltage transfer function）

电流传输函数（Current transfer function）

互阻传输函数（Transresistance function）

互导传输函数（Transconductance function）

显然，这些函数值均为复数。

1. 复频域分析

以下分析的理解涉及到了目前阶段无法详细推导的内容，因此不做要求

根据《信号与系统》方面的知识，传输函数可以表示为

其中为传输函数的零点，为传输函数的极点

RC 串联电路

先从最简单的 RC 串联电路开始，如下图

其传输函数可以表示为

令，则上式化为

其中。

RC 并联电路

接下来分析 RC 并联电路

由 KCL 方程有

则经过变换，传输函数为

记，

上式化为

综上我们得到了含有单个电容的传输函数表达式

$（串联）$

$（并联）$

称此函数为「一阶函数」（First-order Funcions）

2. 波得图

将复频率再用频率表示，则上面的一阶函数化为

函数的模为

用分贝表示为

同时，函数的幅角为

现在我们得到了对于一阶 RC 串联电路，随着频率改变，输出信号和输入信号的关系，在幅度变化的同时也产生了移相。

为了直观的表示频率对放大倍数和相位的影响，我们以频率的半对数为横坐标，放大分贝数和相位为纵坐标作出两张坐标图

称这种图为「波德图」（Bode plot）。实际上的波德图函数是比较复杂的曲线，因此通常用两条直线来近似，一条为水平直线，其纵坐标为，在时，交另一条直线，其斜率为

这种近似产生的误差最大点恰好就在 3dB 点，也叫拐点（corner frequency)，

短路和开路的时间常数

回顾

在之前的学习中，要求电路的时间常数，就将所有独立源置零，即电压源短路；电流源开路。然后去求电容两端看进去的等效电阻。

对于串联和并联同时存在的二阶电路

其传输函数为

对于低频工况，为开路，电路可以简化为高通网络，得到开路时间常数和频率下限

$，$

对于高频工况，为短路，电路可以简化为低通网络，得到短路时间常数和频率上限

$，$

因此就得到了幅频响应图的上下限和。在实际工程中，通常，因此在计算带宽的时候通常直接取为带宽的值

五、带电容的晶体管放大器

1. 耦合电容效应

耦合电容效应（Coupling Capacitor Effect），用于阻挡直流信号和低频信号

1.1 共发射极电路的输入耦合电容

对于共发射极电路的输入耦合电容，在低频时无法视为短路。那么要如何计算开路时间常数？首先画出小信号模型的等效

从输入耦合电容往右边看的输入电阻为

1.2 共发射极电路输出耦合电容

对于输出端的电容，同样可以画出小信号模型的等效

得到时间常数为

1.3 射极跟随器的输出耦合电容

此电路同时具有输入输出电容，如果两个影响的都是低频，考虑其中一个电容的影响时，将另一个视为短路，一个个分析。比如现在我们就将输入耦合电容视为无穷大，单独考虑输出耦合电容的时间常数，画出对应的等效小信号模型

通过电流关系的映射（Mapping）可以得到电容左边的等效电阻为

求出来不同的频率下限，肯定要选更大的，即「考虑最坏情况」

2. 负载电容效应

对于 P 沟道增强型 MOS 管放大器而言，若其负载端有并联电容，此电容一般大小不大，称为「负载电容」，则需要考虑其短路时间常数。首先画出对应小信号模型

负载电容一般很小，时间常数为

3. 负载电容与输入耦合电容

同时具有这两种电容的时候，由于电容量差很大，分开考虑各算各的，否则将会把问题变为二阶问题。如下图是一个有输入耦合电容和负载电容的共发射极放大电路

要求两个电容各自的时间常数，则首先画出小信号模型

首先将视为开路，然后考察左右两边的电阻。从看进去的电阻根据映射关系可以表示为

因此其时间常数可以表示为

的时间常数也可以用类似的方法完成

4. 旁路电容

在发射极，往往会与发射极电阻并联一个电容，此电容称为「旁路电容」（Bypass Capacitor），用于旁路掉高频电流

画出小信号模型

这个电容既在输入回路也在输出回路，意味着可能算出两个

接下来求电压增益。首先，基极电流可以表示为

然后建立输出电压和输出电压的关系

$，$

得到

令 $，$

则电压增益化为

注意到这里的其实正是旁路电容

因为ce极电流近似相等，因此输出回路的时间常数只需要

而且注意到 $对应$

因此只需要考虑，即只考虑输入端

Problem-Solving Technique: Bode Plot of Gain Magnitude

Determine whether capacitor is producing a low-pass or high-pass circuit.
Sketch general shape of Bode plot
Corner frequency is f = 1/(2πτ) where τ = ReqC
Req is resistance seen by capacitor
Maximum gain magnitude is midband gain.
Coupling and bypass capacitors act as shorts
Load capacitors act as opens

综合分析

输入耦合电容，输出耦合电容和旁路电容，三个电容谁对频率响应的影响最大？

三个电容没法一起算，总不能算个三阶电路吧。分开考虑，算其中一个的时候，把另外两个短路。

考虑交流通路

先算

再算

最后算

处理步骤

确定电容造成的是高通电路还是低通电路
确定，其中
找到最大增益

高频段

到高频段，要考虑PN结的结电容，因此不能直接复用小信号模型

六、BJT 的频率响应

1. Hybrid-π 模型的展开

之前提到，BJT 可以用 Hybrid-π 模型来近似，如下图

此时我们没有考虑 PN 结中的结电容。但当我们在分析频率响应时，就需要展开 Hybrid-π 模型中被我们忽视的三个结电容

B-E 结电容

B-E 结可以表示为下图

基极可以被分为「外基极」（External base terminal），用 B 来表示，和「内基极」（Internal base terminal），用 B' 来表示。两个基极之间存在一个电阻，称为「基极电阻」（Base series resistance）

同样的，发射极也可以被分成「外发射极」（External emitter terminal），用 E 来表示，和「内发射极」（Internal emitter terminal），用 E' 来表示。两个发射极之间存在一个电阻，称为「发射极电阻」（Emitter series resistance）

在内基极和内发射极之间是一个正偏的 PN 结，可以用一对并联的电阻和电容来替代，分别是「正偏结扩散电阻」（Forward-biased junction diffusion resistance）和「正偏结电容」（Forward-biased junction capacitance）

最后得到的 B-E 结近似可以表示为

C-E 结

集电极可以被分为「外集电极」（External collector terminal），用 B 来表示，和「内集电极」（Internal collector terminal），用 B' 来表示。两个集电极之间存在一个电阻电阻称为「集电极电阻」（Collector series resistance）。同时内集电极还有一个接地的电容，被称为「反偏集电极-基底结电容」（The junction capacitance of the reverse- biased collector- substrate junction）

在内集电极和内发射极之间，等效为一个非理想电流源，即一个理想电流源与电阻的并联。电流源内阻即输出导纳的倒数