静电场:由静止电荷产生,场分布不随时间变化的电场
点电荷:
电场对电荷具有作用力,称之为“电场力”
所有电磁现象归根到底都起源于电荷及电荷的运动电流,即电荷和电流是产生电磁场的源。因而将电荷及电流称为电磁场的源量。
「电荷」是物质的本质属性,描述电相互作用的本领。电荷分为正电荷与负电荷。电子带负电荷,缺少电子的原子则带正电荷。电荷数量的多少称为「电量」,单位为「库仑」(C)。电量是不连续的。每个电子、原子、离子、分子以至宏观物体所带的电量,都只能是基本电荷
在宏观意义下,考察由大量的基本电荷组合的电荷所产生的电磁效应时,显然又可以采用电荷为连续取值的方式,来决定带电体的电量。
电荷可以分为「自由电荷」和「束缚电荷」两种类型。在导电物质即导体中,能作定向运动的自由电子和正、负离子,半导体中的电子和空穴,真空和气体中作迁移运动的电子、离子等都属于自由电荷。自由电荷能作宏观运动。还有一类物质称为「电介质」,在电介质中只有少量的自由电荷,其余电荷被紧密束缚在原子范围内,它们不能作宏观的运动,这种电荷叫作「束缚电荷」。以后无特别说明,所论电荷均指自由电荷。
电荷是产生电磁场的源,场源的位置称为「源点」,而在电磁场中的观察点称为「场点」。源点位置常用带撇的位置矢量,或带撇的坐标变量表示,而源分布的体积、面积和长度则常用
当电荷分布于一个几何大小可以忽略不计的体积内时,即从宏观上来看,认为电荷只是位于一个几何点上,这样的电荷称为点电荷,其电量表示为
在本章中,我们认为电荷在空间的分布也不随时间改变,此时这些电荷产生的的电场称为「静电场」
1785 年,库仑在给法国科学家的论文《电力定律》中提出两个点电荷之间存在作用力,并且将其精确计算出来。如下图
库仑定律指出,“真空中相距
其中
库仑定律是电磁学的基本实验定律之一。库仑定律说明电荷周围存在着电场,电荷间的作用正是通过电场实现的。「电场」是一种特殊形态的物质,电场最基本的特性就是对电场中的电荷有力的作用。因此,根据电场的这一基本特性,引入电场强度的概念。
在电场中某点处的点电荷在该点所受到的电场力的大小和方向为该点处的「电场强度」
电场强度单位为伏特/米(V/m)或牛/库仑。定义式中极限
根据
由于在球坐标系下
库仑定律告诉我们点电荷场强大小按照距离平方反比变化
库仑定律告诉我们,场强与点电荷的电量成正比。所以静电场的场强具有线性可叠加性。根据此性质,理论上可以计算任意形状带电体产生的场强。
由
以体密度
其中
以面密度
其中
以线密度
其中
一个半径为
解题中注意以下几点:
必须明确“导体的电荷分布于导体表面,孤立导体球的电荷均匀分布于球的表面”,由此可以求出电荷面密度;面元
球外场点的电场与位于球心的点电荷
上面已经推导出点电荷的场强表达式在球坐标系中可以表示为
由于标量场的梯度之旋度恒为零,因此可以说电场是个无旋场,即
上式称为「静电场环路定理的微分形式」。将此式沿任意曲面积分,并应用 Stokes 公式,可得
上式称为「静电场环路定理的积分形式」。环路定理表示静电场是一个保守场,当在场中沿闭合路径移动一个电荷
而对于真空中体分布电荷所产生的静电场可以表示为
对其求散度得
由性质
根据
因此
上式称为「静电场 Gauss 定理的微分形式」。此式表面,电场的散度仅由电荷的分布,即体密度
上式称为「静电场 Gauss 定理的积分形式」。其中闭合面
环路定理的微分形式表示,静电场是无旋场,根据第一章的知识,可以用一个标量函数
这里的标量函数
则
即
不难发现,电位函数的值是相对而言的,因此零电位点的选取就非常重要。一般取无穷远处电位为零。当
即
这就是「电位的计算公式」。
证明:导体表面的面电荷密度为
证明要点:
因此得证
将
上式左边梯度的散度,其运算结果为一标量,用 Laplace 算子
上式称为「电位满足的 Poisson 方程」,在直角坐标系下有
在圆柱坐标系下
在球坐标系下
上述三个表达式中,直角坐标系中的
上式称为「电位满足的 Poisson 方程」运用 Poisson 方程或拉氏方程可以求解经典唱的边值问题。所谓“边值问题”,是指在一定的边界条件下求解 Poisson 方程(或拉氏方程)。具体解法见第五章。
在某些特殊情况下,可以利用直接积分的方法求解静电场。这些特殊情况包括:
除上述情况外,均须用其他方法求解
求无限长同轴导体圆柱面之间的静电场。其中内半径为
解:圆柱面间没有电荷分布,故满足 Laplace 方程,用圆柱坐标表示为
因此积分并且代入边界条件得
对其求负梯度得到场强
孤立导体球(半径为
解:
导体球外没有电荷分布,故满足 Laplace 方程,用球坐标表示为
由于边界条件
求负梯度得到场强
对于分布于体积
根据
由此即可此写出一个处于
若令
则有
求解步骤如下:
可以证明,上式的解为
其中,
格林函数具有对称性,即
在下一节我们可以看到,引入格林函数可以把电位
应用格林恒等式(格林定理)可处理具有复杂边界条件的电磁场问题。原则上,应用格林函数及其由格林定理推导出的 Poisson 方程解的积分表达式可以求解任意静电场边值问题。由此可见格林定理的重要性。下面推导格林定理。由散度定理
令区域
将
应用矢量恒等式
及
(3) 式可化为
在
(4) 为「格林第一恒等式」,(6)称为「格林第二恒等式」或「格林定理」。在(6)式中,取
代入
将其中的
上式称为「Poisson 方程解的积分形式」。它把区域内电位分布
当所研究的是无边界问题时,上式中面积分为零,表明电位完全由分布电荷产生。当所研究的体积内无电荷分布(
在一般的情况下,
注意,包围体积
静电场的边界问题可以分为如下三类:
解的唯一性定理就是针对上述各种边界条件提出的:不论在何种边界条件下, Poisson 方程或拉氏方程的解都是唯一的。
一对相距一个很小的距离
以下研究电偶极子的远区电场分布,此时满足
在远区条件下,有
代入上式得到
定义电偶极子的「电距」或「电偶极矩」为
单位为库仑米,方向由
另一方面在球坐标系中,场强可表示为
可见,电偶极子远区电场按
其中
电偶极子远区电力线
由上式可得关系
将上式相除得到
积分得到
取指数得到
在没有外加电场作用时,电介质内部及其表面上,正负束缚电荷总量处处相等,宏观上并不显电性。在外加电场的作用下,在电介质内部的不均匀处以及表面上,由于正负束缚电荷不能相互抵消,故出现净束缚电荷的分布,这种现象称为电介质的「极化」。电介质极化时,在其内部及其表面出现的宏观束缚电荷称为「极化电荷」。极化电荷产生的电场叠加加到原来的外加电场之上,使得合成电场与外加电场不同。
介质极化的微观机理可分为电子极化,离子极化和固有电矩的取向极化等,
不论是哪种极化,都是电介质在外加电场的作用下,其大量原子、离子和分子的电矩的集体作用的宏观效应。电介质极化的程度和方向,都可以用介质中某点处的「极化强度」
其中
实验证明,各种电介质的极化强度
根据上述的讨论,我们将电介质中某点处的极化强度
其中
我们以后主要讨论线性各向同性均匀的电介质,在这种电介质中,
下面讨论被极化的电介质内极化电荷的分布。
在极化了的电介质中,作一任意的闭合曲面
设电介质分子的电矩为
由于体积
故
將
式中运用了高斯散度定理。由于体积
也就是说,极化强度的散度源是束缚电荷密度。极化电荷的面密度可表示为
现在考虑介质中的 Gauss 定理。若在电场中存在电介质,我们知道电介质要产生极化而出现极化电荷,而 极化电荷也要产生电场,因而要改变原来的电场分布。也就是说,电介质对电场的影响归结为极化电荷对电场的影响。这样,考虑了了极化电荷以后,原来电介质所占 有的空间则可视为真空。因此,就可将真空中的高斯定理用于有电介质的情况。设
根据极化强度的定义有
上式称为「介质中的 Gauss 定理」。其中,
称
上式表明了
现在回到有电介质存在时的 Gauss 定理。对于式
其积分形式为
注意:(4) 和(5)式中的
介质本构关系
介质中束缚体电荷密度
介质表面束缚面电荷密度
加有电压
在两种不同介质的分界面处有
在外加电场的作用下,介质的表面或两种不同介质(
一般地,将分界面上的分量分解为平行于分界面的切向分量和垂直于分界面的法向分量,并选取分界面的法线方向由介质 2
在分界面上选取如图所示的柱形闭合面,并令
得到
或
或
证明:
式中,
所以用电位函数表示的法向分量边界条件
当分界面上无自由电荷时,上述两式变为连续的
在分界面选取如图所示闭合回路,并应用环路定理,得
得到
或
用电位函数表示的切向电场连续条件为
注意,在求解静电场的定解问题时,所得答案(电场函数或电位函数)除了须满足 Laplace 方程或 Poisson 方程,还必须满足带求解区域中所有表面和边界面上的边界条件
求电容的几种情况
假设大地为该系统的一个导体,并令其电位为零。设该系统中除大地以外其他导体上的电量和电位分别为
上式中,利用了电位和电量呈线性关系,系数
式中,
则可以写为
可见,在多导体系统中(含大地),要计算两导体间的电容,就必须考虑其他导体的存在。由上述各种情况下电容的定义,再结合以前学到的关于电位,电量的计算方法,便可以计算导体的电容了。多导体系统中的电容可首先求电位系数和感应系数,从而有
在建立电荷系统的过程中,外界能源对电荷做功(克服电场力做功),使得静电场具有能量。
设在电荷系统建立的过程中(例如在充电的过程中),各点的电荷密度按照比例因子
即
此即为该静电场系统的能量。如果静电场的电荷分布于表面上,且电荷面密度为
由上面的推导中,可以看出,上述两式中的
利用 Gauss 定理的微分形式
注意到将体积分和面积分区域都扩大到整个空间后并不改变静电场的储能情况,且在无限远处,上式中面积分项变为零,所以,
对于各向同性介质
由此,得到静电场能量密度函数为
注意,(1)~(6) 均是以能量守恒以及静电场建立的全过程这两方面来得到的;仅从其中的任何一个方面来推导,都不会得到静电场能量的正确表达式
要计算静电场中的导体或介质受到的某一方向的静电力时,可假设在电荷
设导体上的电荷
单位表面受到的静电力为
可见,在保持导体上电荷恒定时,导体上受到的沿某一方向
导体和电源相连,意味着导体上的电位一定。这样,假设发生位移
而带电量变化
可见,电源提供的能量(电源做功)一半用于增加电场储能,一半用于机械功。所以导体受到的静电力
所以
这一章是全书内容的基础,须特别注意基本概念的含义,以及公式、定律(定理)的推导、证明方法,由此可以引出许多解题方法,坐到灵活运用,举一反三
作为本章众多公式、定律的综合运用,是各种情况下电容、电场能量和电场力的计算方法
电容和能量常考