静电场

静电场:由静止电荷产生,场分布不随时间变化的电场

点电荷:

电场对电荷具有作用力,称之为“电场力”

一、电场强度与库仑定理

所有电磁现象归根到底都起源于电荷及电荷的运动电流,即电荷和电流是产生电磁场的源。因而将电荷及电流称为电磁场的源量。

1. 电荷

电荷」是物质的本质属性,描述电相互作用的本领。电荷分为正电荷负电荷。电子带负电荷,缺少电子的原子则带正电荷。电荷数量的多少称为「电量」,单位为「库仑」(C)。电量是不连续的。每个电子、原子、离子、分子以至宏观物体所带的电量,都只能是基本电荷 的整数倍。基本电荷 。电子电量为

在宏观意义下,考察由大量的基本电荷组合的电荷所产生的电磁效应时,显然又可以采用电荷为连续取值的方式,来决定带电体的电量。

电荷可以分为「自由电荷」和「束缚电荷」两种类型。在导电物质即导体中,能作定向运动的自由电子和正、负离子,半导体中的电子和空穴,真空和气体中作迁移运动的电子、离子等都属于自由电荷。自由电荷能作宏观运动。还有一类物质称为「电介质」,在电介质中只有少量的自由电荷,其余电荷被紧密束缚在原子范围内,它们不能作宏观的运动,这种电荷叫作「束缚电荷」。以后无特别说明,所论电荷均指自由电荷。

电荷是产生电磁场的源,场源的位置称为「源点」,而在电磁场中的观察点称为「场点」。源点位置常用带撇的位置矢量,或带撇的坐标变量表示,而源分布的体积、面积和长度则常用 表示,这样以便于与场点的位置(即不带撇的位置矢量 ,或不带撇的坐标变量)以及非源分布的体积、面积和长度相区别。 故电荷分布的位置变量及电荷分布的区城常用带撇的量表示。

当电荷分布于一个几何大小可以忽略不计的体积内时,即从宏观上来看,认为电荷只是位于一个几何点上,这样的电荷称为点电荷,其电量表示为 由于电量 分布于体积无限小的空间内,故点电荷的体密度为无限大。

在本章中,我们认为电荷在空间的分布也不随时间改变,此时这些电荷产生的的电场称为「静电场

2. 库仑定律

1785 年,库仑在给法国科学家的论文《电力定律》中提出两个点电荷之间存在作用力,并且将其精确计算出来。如下图

库仑定律指出,“真空中相距 的两个点电荷 间具有相互作用力(静电力),其中 的作用力为

其中 是由 指向 的单位矢量, 称为真空中的「介电常数」,其值为

库仑定律是电磁学的基本实验定律之一。库仑定律说明电荷周围存在着电场,电荷间的作用正是通过电场实现的。「电场」是一种特殊形态的物质,电场最基本的特性就是对电场中的电荷有力的作用。因此,根据电场的这一基本特性,引入电场强度的概念。

3. 电场强度

在电场中某点处的点电荷在该点所受到的电场力的大小和方向为该点处的「电场强度。比如设在电场中某一点处一个带正电量 的试验电荷收到的电场力为 ,那么电场强度可以表示为

电场强度单位为伏特/米(V/m)或牛/库仑。定义式中极限 是为了在引入试验电荷时不致影响场源电荷的状态,亦即不影响电场本身的分布。显然, 的方向与带正电量的试验电荷的受力方向一致。

根据 的定义,若在库仑定律的表达式中,将 视为场源电荷 视为试验电荷,则 所在点处的场强为

由于在球坐标系下 ,因此场强还可以用矢径的梯度表示

库仑定律告诉我们点电荷场强大小按照距离平方反比变化

4. 线性叠加性

库仑定律告诉我们,场强与点电荷的电量成正比。所以静电场的场强具有线性可叠加性。根据此性质,理论上可以计算任意形状带电体产生的场强。

4.1 点电荷

个点电荷 形成的一个静电场,其场中某点处的场强为

4.2 体电荷

以体密度 分布于体积 中的体电荷,其场点 处的场强为

其中 为体电荷元

4.3 面电荷

以面密度 分布于表面 上的电荷在场点 处的场强

其中 为面电流元。

4.4 线电荷

以线密度 分布于一条线上的电荷,在场点 处的场强为

其中 为线电流元。

例题

一个半径为 的孤立导体球,总电量为 ,求球内外的场强

解题中注意以下几点:

必须明确“导体的电荷分布于导体表面,孤立导体球的电荷均匀分布于球的表面”,由此可以求出电荷面密度;面元 的选取及面积分积分顺序选取技巧:一般 。但在此题中,应选

球外场点的电场与位于球心的点电荷 的电场相同,球内场强恒为零(静电屏蔽)。

二、真空中静电场的基本方程

1. 静电场的环路定理

上面已经推导出点电荷的场强表达式在球坐标系中可以表示为

由于标量场的梯度之旋度恒为零,因此可以说电场是个无旋场,即

上式称为「静电场环路定理的微分形式」。将此式沿任意曲面积分,并应用 Stokes 公式,可得 沿任一闭合回路 的环量为零,即

上式称为「静电场环路定理的积分形式」。环路定理表示静电场是一个保守场,当在场中沿闭合路径移动一个电荷 时,电场力 作的功为:

2. 静电场的 Gauss 定理

而对于真空中体分布电荷所产生的静电场可以表示为

对其求散度得

由性质 ,代入上式则有

根据 函数的抽样性质

因此

上式称为「静电场 Gauss 定理的微分形式」。此式表面,电场的散度仅由电荷的分布,即体密度 决定。在已知场强的情况下,可由此式求出该点处的场源 。将上式对任意体积积分,并应用矢量场的散度定理得

上式称为「静电场 Gauss 定理的积分形式」。其中闭合面 和闭合回路 均为任意。Gauss 定理表明,场强 沿闭合面 的通量恒等于闭合面所包围的总电量与真空介电常数之比

3. 电位函数

环路定理的微分形式表示,静电场是无旋场,根据第一章的知识,可以用一个标量函数 来表示无旋矢量场 ,即

这里的标量函数 称为静电场的「电位函数」,显然,电位函数是位置的函数,两点间电位函数的差值就是所谓的「电压」。在直角坐标系中,上式为

沿任意方向 的分量为

,则 点与 点的电位差为

不难发现,电位函数的值是相对而言的,因此零电位点的选取就非常重要。一般取无穷远处电位为零。当 为无穷远点,且选为零电位点时,则有

这就是「电位的计算公式」。 点的电位就是把一个单位正电荷由 点移动到零电位点过程中,电场力所做的功。

4. 例题

证明:导体表面的面电荷密度为

证明要点:

  • 运用 Gauss 定理的积分形式
  • 做一个无限小的圆柱面
  • 注意导体内部场强为零,及导体外表面场强与表面垂直,所以

因此得证

三、 Poisson 方程和拉氏方程

1. 定义

代入 中得到

上式左边梯度的散度,其运算结果为一标量,用 Laplace 算子 表示,即

上式称为「电位满足的 Poisson 方程」,在直角坐标系下有

在圆柱坐标系下

在球坐标系下

上述三个表达式中,直角坐标系中的 须记忆。对于 的点,即面电荷,线电荷、体电荷及点电荷意外的点, Poisson 方程简化为如下齐次二阶偏微分方程,即 Laplace 方程

上式称为「电位满足的 Poisson 方程」运用 Poisson 方程或拉氏方程可以求解经典唱的边值问题。所谓“边值问题”,是指在一定的边界条件下求解 Poisson 方程(或拉氏方程)。具体解法见第五章。

在某些特殊情况下,可以利用直接积分的方法求解静电场。这些特殊情况包括:

  • 求解量(电位 )呈完全对称分布
  • 无限大边界面

除上述情况外,均须用其他方法求解

2. 例题

2.1 圆柱

求无限长同轴导体圆柱面之间的静电场。其中内半径为 ,电压为 ,外半径为 ,且接地。

解:圆柱面间没有电荷分布,故满足 Laplace 方程,用圆柱坐标表示为

因此积分并且代入边界条件得

对其求负梯度得到场强

2.2 导体球

孤立导体球(半径为 )的电位为 。求球外电位。

解:

导体球外没有电荷分布,故满足 Laplace 方程,用球坐标表示为

由于边界条件 ,因此

求负梯度得到场强

四、格林函数

1. 点电荷的准确描述

对于分布于体积 内的电荷,当 时,电荷密度 ,但保持 体积内的总电量不变,这样的分布电荷叫做「点电荷」。可以借助 函数来表示一个位于点 处、带电量为 的点电荷

根据 函数的抽样性定理,可以证明上述点电荷的电量为

由此即可此写出一个处于 点的单位点电荷产生的电位 的 Poisson 方程

若令

则有

求解步骤如下:

  • 令单位点电荷为坐标原点,即
  • 在球坐标系中解齐次二阶偏微分方程 (除去远点均满足该方程)
  • 对原点处应用 Gauss 定理的积分形式作为边界条件求解积分系数
  • 再改写成单位点电荷在 处的解的形式

可以证明,上式的解为

其中, 称为「无界空间中的格林函数」,它是单位点电荷产生的电位 的乘积。将上式代入 中,得到

格林函数具有对称性,即

在下一节我们可以看到,引入格林函数可以把电位 满足的微分方程化为积分方程求解。

五、格林定理, Poisson 方程解的积分公式

应用格林恒等式(格林定理)可处理具有复杂边界条件的电磁场问题。原则上,应用格林函数及其由格林定理推导出的 Poisson 方程解的积分表达式可以求解任意静电场边值问题。由此可见格林定理的重要性。下面推导格林定理。由散度定理

令区域 内的矢量场 可以由同一区域内的两个标量场 如下表示

代入

应用矢量恒等式

(3) 式可化为

中,将 对调一下,得

式与 式相减

(4) 为「格林第一恒等式」,(6)称为「格林第二恒等式」或「格林定理」。在(6)式中,取 为格林函数, 为区域内由实际场源 产生的电位函数,即 分别满足

代入 式,整理后得

将其中的 互换,利用格林函数的对称性得到

上式称为「Poisson 方程解的积分形式」。它把区域内电位分布 表示为两个积之和:体积分表示体积 内分布电荷 产生的电位,面积分表示包围体积 的表面 上的源(表面 上的电荷面密度 ,以及表面 上等效偶极子层 产生的电位。

当所研究的是无边界问题时,上式中面积分为零,表明电位完全由分布电荷产生。当所研究的体积内无电荷分布()时,则区域内的电位完全由表面上的源产生,这时上式中体积分为零。

在一般的情况下, 由分布于体积 内的电荷 、边界面 上的电位函数 和电位函数的法向导数值 共同决定。由此即可引出解的唯一性定理。

注意,包围体积 的表面 可以是物理表面,也可以是人为取定的一个计算表面,此时表面上的源并非真实存在的源,而是一种基于对区域内场分布等效的表示方法。这就是在电磁场分析中常用的等效替换方法。

六、唯一性定理

静电场的边界问题可以分为如下三类:

  • 狄利克雷边界条件:整个边界上的位函数已知
  • 诺伊曼边界条件:整个边界上的为函数的法向导数均已知(即已知表面电荷密度)
  • 混合边界条件:在一部分边界上位函数已知,而在另一部分边界上位函数的法向导数已知。

解的唯一性定理就是针对上述各种边界条件提出的:不论在何种边界条件下, Poisson 方程或拉氏方程的解都是唯一的。

七、电偶极子

一对相距一个很小的距离 的等值异号电荷称为「电偶极子」。

以下研究电偶极子的远区电场分布,此时满足 。采用球坐标,远区场点 的电位为

在远区条件下,有 ,即 ,且

代入上式得到

定义电偶极子的「电距」或「电偶极矩」为

单位为库仑米,方向由 指向 。所以电位函数化为

另一方面在球坐标系中,场强可表示为

可见,电偶极子远区电场按 反比变化,且具有轴对称性,对称轴为 。由此可以得到电场等位线和电力线的求法:

  • 等位线:在电位表达式中令电位为常数可得到
  • 电力线:注意到“电力线上每点处线元的方向和该点处电场的方向相同”这一关系,即利用如下关系求解可以得到电力线方程

其中 为比例常数。 的表达式可由其他方法得到(诸如 等),而 的表达式须根据所选用的坐标系写出:

  • 直角坐标系:
  • 圆柱坐标系:
  • 球坐标系:

电偶极子远区电力线

由上式可得关系

将上式相除得到

积分得到

取指数得到

八、介质中的 Gauss 定理

在没有外加电场作用时,电介质内部及其表面上,正负束缚电荷总量处处相等,宏观上并不显电性。在外加电场的作用下,在电介质内部的不均匀处以及表面上,由于正负束缚电荷不能相互抵消,故出现净束缚电荷的分布,这种现象称为电介质的「极化」。电介质极化时,在其内部及其表面出现的宏观束缚电荷称为「极化电荷」。极化电荷产生的电场叠加加到原来的外加电场之上,使得合成电场与外加电场不同。

介质极化的微观机理可分为电子极化,离子极化和固有电矩的取向极化等,

1. 极化

不论是哪种极化,都是电介质在外加电场的作用下,其大量原子、离子和分子的电矩的集体作用的宏观效应。电介质极化的程度和方向,都可以用介质中某点处的「极化强度 来表示。其定义为

其中 为包含观察点的体积元, 内全部分子电矩的矢量和。可见,极化强度表示的是电偶极矩的体密度。介质在电场中被极化,产生了电偶极矩,可理解为形成了束缚电荷

实验证明,各种电介质的极化强度 与电介质的材料有关,又与电介质中的电场强度成正比。这里的电场强度是外加电场与极化电荷产生的电场的合成总场强 。电介质可以根据其极化强度 与电场强度 的关系,分成以下几类:

  1. 的每一分量都只与区的各分量成线性关系,这种电介质称为「线性电介质」,否则称为「非线性电介质」。
  2. 若电介质的物理特性在所有方向上都相同,即电介质特性与电场的方向无关,这种电介质称为「各向同性电介质」。在这种电介质中, 的方向相同,且 的关系不因 的方向改变而变化。反之,则称为「各向异性电介质」。

根据上述的讨论,我们将电介质中某点处的极化强度 与该点处的总电场强度 的关系写成

其中 为真空中的介电常数, 为无量纲常数,称为介质的「极化率」。由此可知

  1. 对于线性电介质 是一个与 无关的量,对于非线性电介质, 则是 的函数;
  2. 对于各向同性的电介质, 是一个无量纲的纯数,对于各向异性的电介质, 则是一个张量
  3. 与空间位置无关,即 为常量,此电介质称为「均匀电介质」,对于非均匀电介质 应是空间位置的函数。

我们以后主要讨论线性各向同性均匀的电介质,在这种电介质中, 是一个纯常数。

2. 极化后的电荷分布

下面讨论被极化的电介质内极化电荷的分布。

在极化了的电介质中,作一任意的闭合曲面 ,包围的体积为,如图所示。

设电介质分子的电矩为 。在 的外表面上取面元 ,并以 为底,以 为斜高在 面外作斜柱体。由于 极小,若面元 也足够小,则斜柱体的体积 很小。在这样的斜柱体内,可以认为每个分子的电矩 中的 均分别相同。由图可见,凡是分子偶极子的正电荷在此斜柱体内时,其负电荷就必定在 内。因此,我们只要知道有多少正束缚电荷在 以外的体积 内,就可以知道有多少相应的负束缚电荷在 以内的体积 中。此斜柱体的体积为

由于体积 内的分子电矩可认为具有相同的大小和方向,即均为 。又设单位体积内的分子数为 ,则有极化强度

内所包含的正束缚电荷量为

反号,并对整个曲面 积分,即得 面内体积 中总的极化电荷量为

式中运用了高斯散度定理。由于体积 是任意的,故上式中的被积函数即为电介质内极化电荷的体密度,即

也就是说,极化强度的散度源是束缚电荷密度。极化电荷的面密度可表示为

3. 介质中的 Gauss 定理

现在考虑介质中的 Gauss 定理。若在电场中存在电介质,我们知道电介质要产生极化而出现极化电荷,而 极化电荷也要产生电场,因而要改变原来的电场分布。也就是说,电介质对电场的影响归结为极化电荷对电场的影响。这样,考虑了了极化电荷以后,原来电介质所占 有的空间则可视为真空。因此,就可将真空中的高斯定理用于有电介质的情况。设 是原自由电荷产生的电场与介质中的极化电荷产生的电场之和,则在 Gauss 定理的微分形式的右端不但要包括自由电荷的体密度 ,而且还要包括极化电荷的体密度 ,这样,即得

根据极化强度的定义有 代入上式得

上式称为「介质中的 Gauss 定理」。其中, 为外加电场(自由电荷的电场)与介质极化产生的电场(束缚电荷的电场)的总和,称为「宏观电场」。其中 为介质的极化强度,单位为 为自由电荷密度。为了简化电介质中电场的分析和计算,我们引入一个辅助矢量

为「电位移矢量」或电通量密度。对于线性各向同性电介质有

上式表明了 的本构关系, 是一个由介质材料本身的电极化性能决定的常数,称为「介质的相对介电常数」(),而 称为电介质的「绝对介电常数」或直接称为「介电常数」。

现在回到有电介质存在时的 Gauss 定理。对于式 ,代入 可直接简化为

其积分形式为

注意:(4) 和(5)式中的 分别表示自由电荷电量和自由电荷体密度,而不包括束缚电荷电量。由上述可总结出在普遍情况下,即有介质存在时,静电场的基本方程为

介质本构关系

介质中束缚体电荷密度

介质表面束缚面电荷密度

2. 例题

加有电压 的,间距为 的平行板电容器中填充了 两种不同的电介质,计算束缚电荷,注意:

  • 在本题解题中使用了 关系,得到极板上的自由电荷密度
  • 由于两极板之间加有恒定电压,因此在不考虑边缘效应的情况下,可直接由 求出介质区域和空气中的 ;填充的介质只影响到该填充区域中 的分布

在两种不同介质的分界面处有

九、边界条件

在外加电场的作用下,介质的表面或两种不同介质()的分界面上会出现束缚电荷,使得电场分布发生变化,并最终使电场在分界面上变为不连续的。所以,在介质分界面出电场分布只能用 Gauss 定理和环路定理的积分形式表示,由此即可得到分界面两侧场量之间的关系,称之为「边界条件」或「场量衔接条件」,这时才能结合 Laplace 方程求解定解问题

一般地,将分界面上的分量分解为平行于分界面的切向分量和垂直于分界面的法向分量,并选取分界面的法线方向由介质 2 指向介质 1

1. 法向分量

在分界面上选取如图所示的柱形闭合面,并令 ,应用 Gauss 定理

得到

证明:

式中, 为分界面上自由电荷面密度。因为:

所以用电位函数表示的法向分量边界条件

当分界面上无自由电荷时,上述两式变为连续的

2. 切向分量

在分界面选取如图所示闭合回路,并应用环路定理,得

得到

用电位函数表示的切向电场连续条件为

注意,在求解静电场的定解问题时,所得答案(电场函数或电位函数)除了须满足 Laplace 方程或 Poisson 方程,还必须满足带求解区域中所有表面和边界面上的边界条件

十、多导体系统的电容

求电容的几种情况

  • 两导体间的电容,定义为 。其中 为导体上的电量, 为导体间的电压, 是与两个导体的形状、位置及周围介质有关的常数
  • 一个孤立导体的电容定义为 ,式中, 为导体电量, 是设定无限远处电位为零时该导体的电位。
  • 多导体系统中的电容:

假设大地为该系统的一个导体,并令其电位为零。设该系统中除大地以外其他导体上的电量和电位分别为 ,则由线性叠加原理有

上式中,利用了电位和电量呈线性关系,系数 称为「电位系数」,它是与所有导体的位置和形状有关的常数。由上式可解得

式中, 称为电容系数,而 称为「感应系数」,且有 ,即具有互易性。将上式改变一个写法,例如

则可以写为

可见,在多导体系统中(含大地),要计算两导体间的电容,就必须考虑其他导体的存在。由上述各种情况下电容的定义,再结合以前学到的关于电位,电量的计算方法,便可以计算导体的电容了。多导体系统中的电容可首先求电位系数和感应系数,从而有

十一、静电场的能量与静电力

1. 静电场的能量

在建立电荷系统的过程中,外界能源对电荷做功(克服电场力做功),使得静电场具有能量。

设在电荷系统建立的过程中(例如在充电的过程中),各点的电荷密度按照比例因子 )变化,即某一时刻、某点的电荷密度为 ,( 为系统完全建立后,最终的电荷密度分布)。由于电位与电荷的线性关系,该点处的电位为 ,其中 为系统完全建立后,最终的电位分布。则对于某一体积元 ,当电位为 时,再增加微分电荷 ,则电源需做的功为 ,即这时电场能量增加了 。根据同样的原理,充电过程完成后,整个空间 增加的电场能量为:

此即为该静电场系统的能量。如果静电场的电荷分布于表面上,且电荷面密度为 ,则

§

由上面的推导中,可以看出,上述两式中的 均指自由电荷,而不包含束缚电荷。当静电场系统是由一系列具有固定电位的离散分布的带电导体组成的时,则电场能量为

利用 Gauss 定理的微分形式 ,代入 (1) 并利用矢量恒等式

注意到将体积分和面积分区域都扩大到整个空间后并不改变静电场的储能情况,且在无限远处,上式中面积分项变为零,所以,

对于各向同性介质 ,上式变为

由此,得到静电场能量密度函数为

注意,(1)~(6) 均是以能量守恒以及静电场建立的全过程这两方面来得到的;仅从其中的任何一个方面来推导,都不会得到静电场能量的正确表达式

2. 静电力计算

要计算静电场中的导体或介质受到的某一方向的静电力时,可假设在电荷 一定(或电位 一定时)导体(或介质)沿这一方向发生位移、引起静电场储能 的改变率来计,这种方法称为「虚位移法」。具体方法如下:

2.1 导体和电源断开

设导体上的电荷 一定时,即导体和电源断开。假设导体表面上一个面元 向外发生一个位移 ,则由于导体电场能量密度 ,所以小体积元 内的能量将变为零,电场的总储能将比位移前减小 。能量的改变意味着面元 上受到一个静电力

单位表面受到的静电力为

可见,在保持导体上电荷恒定时,导体上受到的沿某一方向 的静电力为

2.2 导体和电源相连

导体和电源相连,意味着导体上的电位一定。这样,假设发生位移 后,将引起导体上的带电量改变,即电源做功为

而带电量变化 后电场能量的改变量为

可见,电源提供的能量(电源做功)一半用于增加电场储能,一半用于机械功。所以导体受到的静电力

所以

小结

这一章是全书内容的基础,须特别注意基本概念的含义,以及公式、定律(定理)的推导、证明方法,由此可以引出许多解题方法,坐到灵活运用,举一反三

作为本章众多公式、定律的综合运用,是各种情况下电容、电场能量和电场力的计算方法

电容和能量常考