运算放大器（Operational Amplifier），简称运放（Op-Amp），是一种高增益的集成电压放大器。因为刚开始主要用于加法，减法等模拟运算电路中，因而得名。

对于大部分运算放大器，均为双端输入，单端输出，同时还有两个正负电源端口 和 用于给运放提供电源。两个输入端分别叫做同相输入端（Noninverting input terminal）和反相输入端（Noninverting input terminal）。

运算放大器的内部结构可以用下图近似表示

在两输入端之间存在一个输入电阻 ，其数量级一般

对输出端而言，是一个受控电压源串联电阻。受控电压源受两输入端的电压差控制，其比例系数称为开环电压增益（Open-loop gain） 。大多数运放的开环电压增益 。串联的电阻称为输出电阻 ，满足

在 两端测的的电压称为输出电压，一般不超过给运放供电的电源电压。

对于理想的运算放大器，可以认为

运算放大器的输出曲线可以划分为两段——线性区（Linear zone）和饱和区（Saturation zone）

在线性区，输出电压严格满足

运算放大器的输出端电压存在上下限，当时，称此时运算放大器达到「饱和」（Saturation），此时输出电压为 或 ，无法输出更高的电压

之前提到的运算放大器的输入电阻 ，输出电阻 。开环电压增益 。可以认为输入电阻和开环电压增益非常大，输出电阻非常小。

在理想情况下，我们将输入电阻视为无穷大，输出电阻为视为零。称这样的运算放大器为理想运算放大器（Ideal Operational Amplifier）。此时输入端开路，输出端只有一个受控电压源。受控电压源的比例系数 为无穷大。因此理想运算放大器只能工作在饱和区，无法工作在线性区。

根据理想运算放大器的定义，可以推导出两个重要特性

共模与差模的详细定义参见 2.1 差分放大器，这里只做简单介绍

共模信号被定义为是两输入信号中的「相同部分」，从数学表达式来看，就是两信号的平均值

当两输入端输入信号时，这两个信号可以视为共模信号与差模信号的叠加。其中共模部分由于输入相等，理想运算放大器输出为零。这种性质称为「共模抑制」（Common-mode Rejection）

对于理想放大器而言，根据虚短特性，两输入端电位相等，因此两输入端均「接地」，即

再根据 KCL 定律，对于反相输入端有

得到输入端与输出端的关系

记输出信号与输入信号之比为「电压增益」，即

可以发现，输出端电压相比于输入端电压，被放大了倍。这个放大倍数是一个负数，因此信号经过此电路时被放大的同时也产生了反相，因此此电路被称为反相放大电路。

根据定义，输入电阻为输入电压和输入电流之比，对于此放大电路，输入端电流直接在 处流入大地，因此

而输入电阻就是

注意，反相放大电路的输入阻抗通常比较小，否则为了实现较大的放大倍数，就必须把做的非常大，这是不现实的。

当输入置零时，由于虚短虚断特性，（接地），因此在 和 中均无电流，即 。根据输出电阻的定义，

因此反相放大电路输出电阻为

与反相放大电路类似的，根据虚断特性，两输入端之间无电流，因此流过 和 的电流相等，满足根据 KCL

得到

再根据虚短性质，，得到输入电压与输出电压的关系

其电压增益为

可以发现，输出端电压相比于输入端电压，被放大了 倍。与反相放大电路不同的是，信号并没有因此产生反相，因此电路被称为同相放大电路。

当 ，或断开 时，放大倍数为 ，此时此电路被称为「电压跟随器」(Voltage follower)

由于虚断特性，和之间没有电流通过，因此此电路输入电流为，根据输入电阻的定义

当输入置零时，，因此同相放大电路输出电阻为0

根据虚短特性，同相输入端与反相输入端电位相等，认为是接地。再根据虚断，两输入端之间没有电流通过，因此根据 KCL有

得到

可以发现，输出电压为三个输入端的信号的一定的比例之和。

由于有多个输入端，因此输入电阻应当分别计算。根据反相放大电路的输入电阻可以得到

将所有输入端置零，输出信号显然为零，因此

根据虚短特性，同相输入端与反相输入端电位相等，其电位为输出端电压的分压

再根据虚断，多个输入端之间的电流之和为

得到

可以发现，输出电压为三个输入端的信号的一定的比例之和。

由于有多个输入端，因此输入电阻应当分别计算。根据反相放大电路的输入电阻可以得到

将所有输入端置零，输出信号显然为零，因此

此电路能将电流信号转化为电压信号，即输出电压 与输入电流信号 成正比，因此称为电流-电压转换器（Current-to-Voltage Converter）

其电路结构为：将反相放大电路的输入端换成一个电流源

此电路能将电压信号转化为电流信号，即输出电流 与输入电流信号 成正比，因此称为电压-电流转换器（Voltage-to-Current Converter）

其电路结构存在两条反馈，其上半部分与反相放大器类似。

虽然电路结构与反相放大器有几分相似，但此时同相输入端并非接地，此时满足

对于节点 有 KCL

而对于负载部分，输出电压端由三个电阻 串并联后与地相连，因此有

综上得到

如果调整 的值，使其满足

则原式可以化为

此时负载电路为输入电压 的函数，而与负载的阻抗无关

前面提到运算放大器具有共模抑制性，即对于两个输入信号而言，运算放大器会放大其差模信号而抑制共模信号。对两信号做差模，本质上就是运算放大器在「做减法」。由此原理可以设计「差分放大器」（Difference amplifier）

根据虚短虚断性质有

解得

如果调整的值，使其满足

则原式可以化为

即输出电压与差模信号成正比。与直接将差模信号输入运放不同的是，这样的差分放大器可以通过改变 和 的取值来调整放大倍数

作为「运算」放大器，之前的应用已经通过运算放大器实现了加减、乘、反相等运算操作，接下来介绍运算放大器微积分运算。首先就是积分器（Integrator）。

电路结构与反相放大器类似，不同的是将反馈网络上的电阻替换为电容。

由于虚短虚断特性，反相输入端相当于接地，那么根据 KCL 方程有

根据电容特性，，此电流将向电容不断充电，从而改变输出电压，，即

输入端电压与电流成线性关系，而输出电压与电流成积分关系，综合起来得到

负号意味着积分的过程产生了反相

若输入信号为常量，那么输出信号就是一个与时间呈线性关系的函数，即

即输出电压会单调递增或递减，直到达到饱和电压。根据此原理可以将方波信号转化为三角波信号，即在输入端通入方波信号，输出端的信号会是频率相同的三角波信号

与积分器原理类似，将电阻和电容的位置调换，即可得到微分器电路

由于虚短虚断特性，反相输入端相当于接地，那么根据 KCL 方程有

根据电容特性，，此电流由输入端不断向电容充电而产生，即

综合起来得到

负号意味着微分的过程产生了反相

若输入信号为阶跃函数，则输出信号为脉冲，即

若输入信号为正弦波，则输出信号仍为正弦波，但幅度变为原来的倍

把此电阻称为平衡电阻。如何计算？零输入时零输出，保证直流时的差分对称性

输入一个大信号，上升做不到足够快，存在一定的上升时间，以最小上升到最大电压上升所需要的时间定义为「压摆率」（Slew rate），越大越好

双端接地时，或输入共模信号时，输出应为零。但有时候不为零，即零点漂移，此时需要人为在某个输入端输入一个直流电压实现输出端为零。

定义：对于开环运算放大器而言，为了实现零输出电压所需要的直流差模信号定义为失调电压（Input biasing voltage）

Input biasing current

Input offset current

本质上是两个管子的参数没有做到完全一致

纳安级别，可以忽略不计

Temperature effect

Maximum differential input voltage

Maximum common input voltage

Maximum output current

Open-loop diff voltage gain

Open-loop bandwidth

Unity-gain bandwidth

增益和带宽的积保持不变

当增益为 时的最高频率

当达到摆动速率时，称为全功率带宽（转换速率有限造成的）

大信号带宽