一、矢量和矢量场

在讨论具体的电磁场问题之前，先介绍分析场问题的数学工具：矢量分析和最常用的坐标系，并引入亥姆霍兹定力，它是所有矢量场的定律

电磁场与其他场一样，要用具有确定物理意义的量（矢量或标量）来表征，这些量在一定的区域内按一定的规律分布，并且在这个区域内，除去有限个点或某些表面，这种分布规律是空间坐标的连续函数。

如果描述物理量的函数与时间无关，则该函数代表静态场，反之，若该函数除了空间位置有关外还是时间的函数，则它所表示的场是时变场

如果场量在某时刻在空间任意点都仅由其大小就能完全确定，则称这个标量函数所表示的场称为标量场。

与之相对的，如果场量在某时刻在空间任意点都不仅由其大小确定，还需要其方向才能完全确定，则称这个矢量函数所表示的场称为矢量场。

以直角坐标系为例，标量场用标量表示；矢量场须用矢量表示，而它又可以表示成三个标量函数的形式。如果用来表示方向的单位矢量，则矢量场可以表示为

通常，我们可以用曲线来形象地表示矢量场在空间的分布，其中，某处曲线的疏密程度表示该处场量的大小，而曲线在该点的切线方向则是该点矢量场的方向。这种曲线称之为“力线”或者“通量线”

二、三种常用的正交坐标系

1. 直角坐标系

直角坐标系中的单位矢量满足关系

体积元可以表示为

面积元矢量可以表示为

线元矢量可以表示为

2. 圆柱坐标系

3. 球坐标系

在球坐标系中，点的坐标为，其中为到坐标原点的距离，为与轴所成的夹角，为与轴的距离，如下图所示

其坐标与直角坐标之间满足关系

坐标上的单位矢量满足关系

体积元可表示为

面积元矢量可表示为

线元矢量可表示为

4. 注意

在直角坐标系中，各单位矢均为常量
圆柱坐标系中，单位矢是常矢量，而单位矢是变矢量（其方向随坐标点而变化）
球坐标系中，各单位矢均是变矢量，其方向均随坐标点而变化
需要注意各种坐标系之间各单位矢量的换算关系。例如，如何用单位矢来表示圆柱坐标系中的，以及球坐标系中的

三、偏导数与全微分

矢量函数的偏导数

则

矢量函数的全微分

场量运算的微分运算公式

设矢量函数及标量函数对空间坐标变量及时间变量可到，且变量为坐标变量及时间变量中的任一变量，则有

$为常矢量$

$为常数$

三、标量场的方向导数与梯度

1. 方向导数

研究方向导数是为了研究在给定时刻标量场随空间坐标的变化情况。标量函数在某点处的方向导数定义为：

设有一个标量场，从场中某点位移到邻近的另一点时函数值从变为，则比值就是标量场函数在点处沿该方向的方向导数

且有

注意。方向导数是一个标量，表示函数值沿方向的增加率

2. 梯度

在上图中，设和是相差很小的两个等值面，且。点位于等值面上，沿两个不同的路径位移到等值面上的点和点。其中，与等值面的法线方向平行。很明显，，所以，若设方向的单位矢量为，且的夹角为，则有

若令为方向的方向导数乘以法向单位矢量

则有关系

可见，标量场在点沿方向的方向导数等于矢量 $\overrightarrow{G} $ 在此方向上的投影，我们称矢量为在点的「梯度」（Gradient），记为，即

所以标量场中的某点的梯度的大小就是该点处沿各个方向的方向导数的最大值，而其方向与该点处等值面的法线方向平行，并指向函数值增大的方向。因此，梯度的反方向为标量函数的值下降最快的方向，称为最速下降方向。如果已知点处的梯度为，则可以由下式计算出沿任意方向的方向导数

2.1 直角坐标系中的梯度

因为：

而

若令矢量

则很显然，有。与式比较，得到

所以，在直角坐标系中，的梯度为

定义算符为「Hamilton 算符」，表示

它兼有为矢量运算与微分运算的双重作用。这样，式可写为

今后我们一般用形如来表示的梯度。在其他坐标系中梯度的计算公式如下

2.2 圆柱坐标系中的梯度

2.3 球坐标系中的梯度

例题

在矢量场中，一般称观察点为「场点」，用不带撇的符号表示；称产生场的源所在的点为「源点」，用带撇的符号表示。

对于矢量场中的两个点，是场点，即观察点的位置矢量。是源点的位置矢

若记

，证明：

其中表示以点为动点时的梯度，而表示以点为动点时的梯度

等值线、等值面上任意一点的法线方向求解方法

梯度的几个重要运算公式

$为常数$

四、矢量场的通量与散度

1. 通量

前面已经讲过，矢量场的形象表示是力线或通量线，力线的疏密程度可以形象地表示矢量的大小。因此，垂直于矢量的单位表面所穿过的力线数或通量线数就是该点矢量大小的量度。所以，通量是描述矢量场特性的一个很重要的概念。

先介绍面元矢量。如图，一个面元除了它的大小外，它在空间还有一定的取向。取一个与面元相垂直的单位矢，则「面元矢量」可表示为

其中的取法有两种情形：

其一，是开表面上的一个面元，这个开表面由一个闭合曲线所围成，当选择了这个闭合曲线的绕行方向后，由右手螺旋法则就可以确定出的方向。
其二，是闭合曲面上的一个面元，则闭合面的外法线方向就是的方向。

在矢量场中，取一个面元。由于很小，其上各点处的大小和方向可视为相同，则定义穿过的通量定义为

这样，穿过整个曲面的通量为

$为开曲面时$

$为闭曲面时$

很明显，对闭合曲面而言，上式表示穿出曲面的通量，当其值大于零时，表示有净通量穿出，说明闭合面内必然存在产生场的“正源”；当其值小于零时，表示有净通量流入曲面，说明闭合面内必存在场的“负源”；当其值为零时，说明净通量为零，面内正负源总和为零，或者面内即无正源也无负源。

2. 散度

穿过闭合面的通量只说明了整个闭合面中源的情况，而不能说明闭合面内各点的性质，他没有反应面内每点处源的分布特性。为了研究一个点附近的的通量，我们可以把闭合面缩小，使包含在这个点内的体积，取如下的极限

“穿过闭合曲面的单位体通量”称为在该点处的「散度」（Divergence），记为。从上述定义可知，是一个标量，它表示从该点单位体积内穿出来的的通量，它反映了在该点处的通量源强度。很显然，它与沿空间坐标的变化有关。在直角坐标系中可根据下图推导出的计算公式

在其他坐标系中也是用表示，具体公式如下

圆柱坐标系：

球坐标系

几个重要的运算公式

$为常矢量$

$，为常数$

3. 散度定理

在矢量分析中，有一个极其重要的定理：散度定理（Gauss 定理）

式中，是由闭合曲面所包围起来的体积。该公式的证明可以利用散度的定义，并将体积分成许多体积元来获得。具体证明为：

在很多情况下，利用 Gauss 定理，可将难以计算的三重积分转化为便于计算的二重积分或反之。

例题

计算矢量对球心在原点，半径为的球表面的积分

解：

在直角坐标系中

而

因此

而直接计算

此外由于矢量的散度反映了在该点的通量源强度，因此定义散度不为零的矢量场为「有源场」或「有散场」，而在各点处的散度均为零的矢量场为「无源场」或「管形场」。

五、矢量场的环量与旋度

1. 环量

在矢量场中，从空间一点开始沿着某一指定的曲线到另一点的路径上，每一线元都是一个矢量，称之为「线元矢量」，记为，其方向就是曲线在该点处的切线方向。则沿曲线的积分为

其中为和的夹角。当路径的起点与终点重合，即形成一个闭合路径时，上述线积分变为

称此闭合积分为的「环量」或环流。与矢量穿过闭合曲面的通量一样，矢量的环流也是描述矢量场性质的重要参量，并且相似的说，如果矢量沿闭合曲线的环量不为零，则此矢量场存在「涡旋源」。

2. 旋度

从分析矢量场的性质来看，除了应知道矢量场的环量（积分量）外，更为重要的是还应知道在每个点附近的环量积分情况。为此，把闭合路径缩小，使它包围的曲面面积，取极限

可见，该极限具有“环量面密度”的意义。由于面元是有方向的，其方向与回路的方向存在右手螺旋关系，因此不难看出上述极限值与回路所围成的面元的方向有关，此极限值可以看成是某一矢量在面元上的投影。并且，当面元矢量与此矢量方向相同时，上述极限值为最大值，也就是该矢量的“模”。这个矢量称为的「旋度」（Curl, Rotation），记为

其中表示在沿方向上的投影。

其中表示的单位方向矢量。由此可见，

是一个矢量
其大小是矢量在该点处环量面密度的最大值
其方向就是当面元的取向使环流密度最大时该面元的方向

类似的可以说，表示了在该点处的涡旋源强度。若某区域中各点处的均等于零，则称为「无旋场」或「保守场」。利用式可以推导出在直角坐标系中的计算公式。由旋度的定义可知

首先，如下图

取一个以为定点，平行于 yoz 平面的矩形面元。设点处的，矩形的长宽分别为，则在此小矩形两边，变为，若计算矩形的环路积分

因此得到

同理，以为定点，分别取平行于平面和平面的矩形面元，并沿矩形边界线积分，最终可得

因此

即

在其他坐标系中，的旋度也用表示，对于圆柱坐标系

对于球坐标系

一些重要的计算公式

$为常矢量$

$为常数$

3. Stokes 定理

矢量分析中有一个重要的定理：Stokes 定理（Stokes's Theorem）

其中，是回路所包围的曲面面积。其证明可以利用旋度的定义式并将分为许多小面元。对于每一个面元有

例题

如图给出一个面上的一个闭合路径

求沿着的线积分。

解：

因为回路在平面上，，因此

因此

此题若利用 Stokes 定理，则首先须计算

因此

可见，利用 Stokes 定理，有时可将计算过程大为简化。

六、场函数的二阶微分运算

梯度、散度、旋度运算都属于场函数的一阶微分运算，只要场函数是连续的，则这些一阶微分运算都是可以进行的。如果场函数具有连续的一阶偏导数，则可以将上述一阶微分运算进行适当组合来进行二阶微分运算。以下几种二阶微分运算常见于电磁场问题中。

1. 标量场的梯度之旋度恒为零

该恒等式很容易在直角坐标系中得到证明。由于梯度和旋度的定义都与所采取的具体的坐标系无关，所以该式是一个普遍结论。

该结论的逆定理也是成立的，即：如果一矢量场的旋度为零，则该矢量场可以表示为一个标量场的梯度。正是根据这一定理，我们才引出了静电场的电位函数的。

旋度为零的矢量场称为「保守场」，所以，任何标量场的梯度构成的矢量场都是保守场，而保守场均可以表示成标量场的梯度。

2. 矢量场的旋度之散度恒为零

该恒等式也可以在直角坐标系中加以证明。

该结论的逆命题也是成立的，即：如果已知一矢量场的散度恒为零，则它可以表示为另一矢量场的旋度。正是根据这一理念，我们才由恒定磁场的磁感强度引出了“矢量磁位”的概念。

由该等式可知，由任何矢量场的旋度所构成的新的矢量场都是无散场，而无散场均可以表示为一个矢量场函数的旋度

3. 标量场函数的 Laplace 运算

「标量场函数的Laplace 运算」定义为对标量场函数先求梯度再求散度

其中，称为「标性 Laplace 运算符」。由上可知，标量场的 Laplace 运算的结果依然为标量函数。

在直角坐标系中，Laplace 运算就是对各个分量求二阶偏导

其中

运算是电磁场、微波问题中经常涉及到的一种二阶偏微分运算。

在圆柱坐标系中

在球坐标系中

4. 矢量场函数的 Laplace 运算

「矢量场函数的Laplace 运算」定义为

或表示为

由此可见，的运算结果为矢量。上述等式定义了在各种坐标系中的矢量场函数的 Laplace 运算。

注意，与虽然写法相似，但他们所表示的真实数学运算却完全不同，一般情况下，展开式要比的展开式复杂得多，唯一的例外是在直角坐标系中两者具有相同的运算形式。即

上式中，是的三个分量。所以，在直角坐标系中，可以分解成的三个分量的标星

以圆柱坐标系为例

所以：

另外：

七、亥姆霍兹定理

根据散度和旋度的定义，我们知道，一个矢量场所有的性质，可以由它的散度和旋度来说明，并且，更进一步地得到如下的「亥姆霍兹定理」（Helmholtz's Theorem）：

在空间有限区域内的任一个矢量场，都可以由它的散度、旋度以及边界条件唯一地确定。 所谓边界条件，是指在包围体积的闭合曲面上，矢量场的切向分量或法向分量。

根据该定理，可以得到如下结论

1. 有限源的场

如果产生矢量场的源分布于有限空间，则在无限远处的矢量场必为零，因此该矢量场在整个空间的分布仅由其散度和旋度便可唯一地被确定。

从另一个角度来说，在这种情况下的边界条件是已知的，即无穷远处的场等于零。

2. 保守性

标量场的梯度构成的矢量场都是保守场

该式可以利用 Stokes 定理及得到证明，因为上式左边可化为。静电场中的标量电位是其例子。

意义： $沿闭合曲线的线积分恒等于零，或表述为，沿非闭合曲线从$ 点移动到点的线积分不依赖于具体的路径形状，而等于与之差**

所以，我们通常把标量场称为「位场」

3. 无旋场

前面已经提到过，旋度处处为零的矢量场称为无旋场，即满足

此时，沿任意闭合路径的线积分都为零：

且它对应着一个标量场，即

$或$

4. 无散场

散度处处为零的矢量场称为无散场，即满足

此时，在任意闭合曲面上的面积分均为零：

且它对应着一个矢量位函数，即

5. 矢量场基本方程

任意一个矢量场可以表示成一个无旋场（）和一个无散场之和，即：

对上式两边分别取散度和旋度，得到

所以，和表示矢量场的两种源

通量源（例如电荷）
旋涡源（例如电流）

由于矢量场的分布由源的分布决定（因果关系），因此当矢量的散度和旋度已知时，即该矢量场的两种源已知，那么该矢量场本身就被唯一地确定了

上述两式是“矢量场的基本方程的微分形式”，它们适用于矢量场连续分布的区域，在矢量场不连续的地方，例如某些表面，则必须使用“基本方程的积分形式”，即从矢量穿过闭合曲面的通量和矢量沿闭合曲线的环流两方面去研究在这些不连续分布处的矢量场，写成数学等式就是

6. 例题

例 1

已知三个矢量函数如下

哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示，哪些矢量可以由一个矢量的旋度表示
求出这些矢量的源分布

解：

根据矢量恒等式及亥姆霍兹定理可知，若该矢量的旋度恒等于零，则该矢量可表示成一个标量场的梯度；若该矢量的散度恒等于零，则它可以表示成另一个矢量的旋度。由于

因此 $\overrightarrow{A} $ 是无旋场，它可以表示成一个标量函数的梯度

$\overrightarrow{B} $ 是无旋场，它也可以表示成一个标量函数的梯度

是无散场，它可以表示成一个矢量函数的旋度。根据上面的结果，可知三个矢量场的源。对于，其只有散度源，即

矢量即是无旋场也是无散场，因此甚至还可以表示成另一个矢量场的旋度，其通量源和漩涡源均为零。对于，也只有散度源，即

即：矢量的通量源为，旋涡源为零。对于，其只有漩涡源，即

即：矢量的旋涡源为，通量源为零

例 2

利用散度定理及 Stokes 定理，在更普遍的意义下证明矢量恒等式：

$及$

证明：将在任意表面上进行面积分，利用 Stokes 定理得

式中是围成曲面的闭合路径。由方向导数与梯度的关系有

因此

即：

由于是任取的，故。将在一个任取的区域内进行体积分，得

式中，式围成区域的闭合曲面，它可分成如图所示两个曲面，其周界相同，但旋转方向相反。

利用 Stokes 定理

因此有

由于是任取的，故