方阵的特征值和特征向量

定义

设方阵，若有数和非零维向量，使得

则称数是方阵的「特征值」，称非零向量为矩阵的对应于特征值的「特征向量」。

式 (1) 可化为

通俗来说，特征向量是一系列不被矩阵改变方向的向量。对称矩阵总是可以找到特征向量

性质

特征值与逆矩阵

$若是一个不可逆方阵，则线性方程组有非零解，即$

$故不可逆方阵必有特征值$

$条件结论相反仍成立，故此性质是充要的$

$方阵和具有一样的特征值，但不一定有同样的特征向量$

Th1

$设为的特征值，都是的特征向量，则（即线性组合）仍是的特征向量$

$由于每个向量都在内，由于向量空间封闭性即可$

$证明：$

拆开即可。

Th2

$对方阵，有互异的特征值，，则线性无关$

证明：

$设：，要证$

$等式两边次左乘，得到了个等式$

$把这些等式放进一个矩阵$

范得蒙行列式（第一章）

$由相应性质，互异时，行列式不为零，因此整个等式左乘逆矩阵得到$

$因此只能为，原结论得证$

Th3

$设矩阵有行列式$

$且对应$

$则所有这些特征向量仍无关$

证明：

$把每个的线性组合看成一堆，记为$

$，因此等式成立$

$若存在某些，不妨让$

$则等式退化为，说明这两个向量线性相关$

$根据定理，和是对应的的特征向量，再根据定理，不同对应的特征向量线性无关，因此矛盾$

$对于矩阵，为了找到所有特征向量需要先找出所有的特征值，和每个对应的特征向量$

$每个对应的特征向量个数是向量空间的维数$

$从而引入代数重数和几何重数$

代数重数

$对其特征多项式进行因式分解$

$代数重数就是作为特征多项式的根的重数，即$

几何重数

$特征值对应的线性无关的特征向量的个数，即也是解空间的维数$

Th4

$每个特征值的几何重数代数重数，即$

$此定理目前的知识无法证明$

$若（单根），因此，从而$

$，故$

$又因为若，新矩阵的迹和原来的矩阵不相等，故只能等于$

矩阵的迹（trace）

矩阵特征值之和

例

例1:

$若（幂等矩阵），求的特征值$

解：

$从定义入手，寻找符合：（）$

$或$

例2：

$若（对合矩阵），求的特征值$

$从定义入手，寻找符合：（）$

例3:

$若（幂零矩阵），求的特征值$

解：

$从定义入手，寻找符合：（）$

归结以上规律发现

$综上可以得到，对于多项式，若，则$

例：

$已知：有特征值$

$证明：$

解：

$发现等式左边是矩阵的迹。设为矩阵中的第行第列元素，有：$

$再次求和，得到矩阵的迹$

矩阵的相似对角化

矩阵相似

定义

$对于矩阵，，若存在可逆矩阵，使得，则称与相似，记为$

性质

相似具有传递性

证明：

$，$

相似矩阵等秩

$若，则$

相似矩阵等行列式

$若，$

相似矩阵特征多项式相同

从而特征值相同，迹相同

与可逆相似的矩阵仍可逆

$若可逆，可逆，且逆矩阵仍然相似$

相似矩阵平方仍然相似

$若，$

f(x)多项式仍相似

$若对于多项式$

相似对角化

由于以上性质，若能将矩阵A转换为某个对角矩阵，通过研究对角矩阵来研究原矩阵A的性质比较方便

若

对P分块

$因此若要相似于对角矩阵，就要有$

这就是特征值和特征向量的关系

$，且之间必须线性无关，防止矩阵不可逆$

定理

$对，存在可逆矩阵，使得$

$充要条件为$

$有个线性无关的特征向量$

$此时称可相似对角化$

$由代数重数和几何重数的关系，对于每个，$

$且$

推论

推论1

$若有个互异的特征值，，，，则可对角化$ $

推论2

$若可对角化，则$

例题1

$，，$

$判断矩阵能否对角化的方式归纳：$

$一、求特征值$

$可得$

$若所有，则可对角化$

$若，求$

$若，则不可对角化，直接结束$

$若$

例题2

$求，$

故不可对角化

例题3

故可以对角化

例题4

$当为何值时，与相似？$

$对分块（下三角块的特征值为每个对角块子的特征值的并集），左上角只有一个元素，则是，的公共特征值，故$

$右下角四个元素的剩下两个特征值为去求$

例题5

$是幂等矩阵，证明的秩为$

例题

$向量，问是否能对角化$

$中间是行列积，结果是数，记为$

$时，，幂零矩阵，只有才能对角化$

$但根据条件，，故不能对角化$

$时，与是类似的，可以对角化$

$是的一个排列$