电磁波在均匀媒质中的传播

(考试的重点,有 40 分以上的题)

(静态场大多数问答题填空题选择题,计算题大部分都是时变电磁场)

上一章里,我们已经从 Maxwell 方程组导出了无源波动方程和有源波动方恒,这些方程在一定的边界条件和初始条件下的解,表示电磁场在所给条件下的空间分布和随时间的变化规律,即电磁波的激发和传播规律。从本章开始,我们将讨论这些问题的求解,进而研究电磁波在各种条件下的传播问题。本章首先研究在无界的线性均匀媒质无源波动方程的解及波在这些媒质中的传播。至于有源波动方程的求解,即电磁波的激发,将在《天线原理》等课程中学习。

波动方程最简单的解是「平面波」解。所谓平面波,是指波阵面等相位面为无限大平面的波。如果在等相位面上场强的振幅也处处相等,则称为「均匀平面波」。它是电磁波最简单最基本的模式,许多复杂的波都可看作为若干均匀电磁波的叠加。因此,我们研究波动方程的均匀平面电磁波解,并讨论均匀平面波在各种无界媒质(理想介质、导电介质、磁化等离子体、磁化铁氧体)中的传播特性。

以下我们只讨论稳态时谐场,因而所有的场量均用复数表示。

一、无界理想介质中平面波的传播

1. 波动方程的解

在无源,即 的均匀理想介质 均为实常数,稳态时谐场 所满足的波动方程为

式中,。在无界空间中,可以在直角坐标系中求解 式。在直角坐标系中, 的任意分量 均满足标量亥姆霍兹方程

上式的解可用分离变量法求得,为此,令

代入 式得

所以

其中

上式称为「均匀各向同性介质中的色散关系」。在无限大均匀理想介质中, 中各方程分别有 形式的特解。如果取 的特解为

式中, 为复常数。 称为「波矢量」或「传播矢量」,其大小 称为「波数」,而 为常点的位置矢。

因为 ,故可取 实矢量,即 的各个分量 均为实数。在非均匀平面波或损耗介质的均匀平面波时,其为复矢量

,其中 的单位矢量。这样, 式表示一个沿 方向传播的均匀平面波。设 中的 代表 分量 ,将复振幅写为 ,则有

其中 为复常数。其瞬时值为

式中 。可见,上式表示一个向 增大方向,即 传播的简谐波。式 中, 为相位,而 为初相。

在任一时刻,相位相等的点组成的面称为「等相位面」。因此, 式所表示的沿 方向传播的简谐波的等相位面为 ,即

也即: 方向上的投影为常数。可见,等相位面垂直于波的传播方向 ,故为平面波。同时,由于在等相位面上振幅 为常数,故又是均匀平面波。在 式中,由于

其中 在各个方向的投影, 的方向余弦,由此

又可写为

注意,式 式的一个特解,实际上, 也是它的一个特解,但这是沿 方向传播的一个均匀平面波。两个特解所表示的波,在无界媒质中具有完全相同的性质,故以下只取 的解。

由于 的任一直角坐标分量均有形如 的解,故 的亥姆霍兹方程 的解为

式中, 为不随位置而变的复常矢量, 为电场各分量的复振幅,均为复常数。

式还需满足 的条件后才是问题的真解。将 式代入 中,有

由于 为常矢,则上式仅保留后一项

由此得到

此式说明, 垂直于传播方向 ,即电场没有沿传播方向的分量,由 Maxwell 方程组之一

可得

可见,磁场与电场垂直,并也与传播方向垂直。即 都没有沿传播方向的分量,这样的波称为「横电磁波」或TEM 波

是无界均匀理想介质中沿 方向传播的均匀平面波的一般表达式

实际上,也可先求 的亥姆霍兹方程 的均匀平面波解,并令其满足 的条件后得到,这样,无界均匀理想介质中沿 方向传播的均匀平面波又可表示为

至此,我们引出了「平面波」,「均匀平面波」,「横电磁波」三个概念,请注意其区别。一般地,「平面波」「均匀平面波」这两个概念在无界空间中使用,而「横电磁波」却广泛应用于各种媒质中。并且,我们已得到这样的结论:无界均匀理想介质中的平面波为均匀平面波,而且还是横电磁波

例题

已知真空中传播的均匀平面波的磁感应强度矢量位

求:

  1. 波的传播方向和电磁波的频率
  2. 分量振幅值
  3. 电场矢量

解:

,得

因此

因此求得

沿传播方向的单位矢为

第二题,由

可得

第三题,将 写成复数形式

因此

因此

二、无界理想介质中平面波的传播特性

在分析无界理想介质中均匀平面波的传播时,可设波沿 方向传播。因为对于各向同性的无界空间,可任意选定 方向,即取 ,所以 。如果在 平面上 的方向始终平行于某一固定直线,则可以选取 轴使之指向 的方向,这样,由 可得

式中, 分别为电场和磁场的复振幅,两者的比值为

具有阻抗的量纲,称为「波阻抗」,或称为「媒质的本质阻抗」,单位为 ,在理想介质中,由于 均为实数,故 为实常数。在真空中有

所以,在理想介质中 的相位相同。可写出 的瞬时表达式

式中, 为电场强度的振幅。上式表示一个沿 方向传播的简谐均匀平面波。由于 的相位 可以看出,要保持相位不变,则当 增加时, 也必须增加,即随时间 增加,等相位面沿 方向移动,从而形成行波。等相位面方程为

若将等相位面行进的速度称为「相速」,记作 ,则

式中 为真空中的光速, 为媒质折射率,有

决定的场,随时间 和空间坐标 均作简谐变化。如将时间周期记作 ,则因余弦函数的周期为 ,故

空间周期记作 ,称为「波长」,则

因此,波长是同一时刻沿传播方向相位相差 的两点间的距离,而 表示沿传播方向移动单位距离时的相位变化,故 也称为「相移常数」。以后我们把相移常数均记作 ,故在理想介质中 ,于是

因此

可见, 是在 $2\pi $ 的距离内完整的正弦波形的个数,故 又称为「波数」。以上引出的 是表示的正弦波的重要参量,三者之间的关系可由 得到

其中, 由媒质特性 决定, 由波源的频率决定,因此 由媒质特性和波源的频率共同决定, 也是如此。所以,同一频率的均匀平面波,在不同媒质中传播时,相速度不相等,从而波长也不相等。

例题

(填空题和计算题往往会出此类计算波参数的题目)

已知真空中传播的均匀平面波的频率为 ,电场为

  1. 求传播常数 ,波长 的瞬时值
  2. 若频率不变,波在媒质 中传播,求相速度 ,波长 ,波阻抗 和传播常数

解:

真空中有

第二题,在媒质 中传播时

下面来看能量的传播。在理想介质中,平面波的能流密度瞬时值为

能流密度的瞬时值为 ,复坡印廷矢量为

其时间平均值为

可见, 的方向与波的传播方向一致。 式中的常数项表示能流密度 的时间平均值,即

可见 与坐标无关,这是理想介质中没有传播损耗的必然结果。电能密度和磁能密度的瞬时值分别为

由于 ,所以电能密度等于磁能密度

总的电磁能密度为

其平均值为

按定义,能流密度 是单位时间内通过与能量流动方向垂直的单位面积的能量。所以,如果以 表示能量流动的速度,则有

可见,在理想介质中,均匀平面波的能量传播速度等于相速。此处强调一点:我们所说的「相速」,「能量速度」 以及之后讲到的群速 ,不仅在定义上有区别,且表示的物理意义也各不相同。无论在何种情况下,能量传播速度 都可使用 来计算

综上所述,均匀平面波在理想介质中传播的特性可以归纳为(爱考选择题)

  • 垂直于传播方向,故称为「横电磁波」
  • 相互垂直,其复振幅之比 称为波阻抗
  • 为实数, 同相
  • 波无衰减地传播,能流密度矢量指向传播方向,且能速等于相速
  • 任一时刻任意一点的电能密度等于磁能密度
  • 波的极化状态在所有的空间点上都是相同的。

三、电磁波的极化

上节得到的无界均匀理想介质中均匀平面波解:

可见,其中电场矢量的取向,总是平行于某一固定直线,或者说空间固定点处的电场矢量总是在一条固定直线上振动,我们称这样的波为「线极化波」。上式表示的即是沿 轴方向的线极化波。

此处,所谓「极化」也叫「偏振」,是指空间任一固定点处的电场矢量的空间取向随时间变化的方式,可以采用 矢量的端点的运动轨迹来描述。

  • 如果 的矢端轨迹为直线,波为「线极化
  • 如果 的矢端轨迹为圆,波为「圆极化
  • 如果 的矢端轨迹为椭圆,波为「椭圆极化

显然,对于均匀平面波来说,在空间所有点上,波的极化状态都是相同的。

上节已得知,无界媒质中的均匀平面波为 TEM 波。TEM 波的电场和磁场矢量均在垂直于传播方向的平面内。设波沿 方向传播,则 均在 的平面内,但是, 在此平面内的取向可以是任意的,或者是随时间变化的。因为对取定的坐标系, 一般有两个分量

其两个分量的瞬时值为

以下来研究上两式所示平面电场的两个分量取不同振幅和初相位时,空间任一固定点处合成电场的矢量端点的轨迹,从而确定其极化状态。

1. 线极化

如果 同初相,则 。在空间任取一固定点,例如 ,则 变为

消去

这是一直线方程, 的矢端轨迹为直线,它与 轴的夹角为

所示的平面波,当 时为线极化波,如上图。显然,当 时也为线极化波,与 轴的夹角为

2. 圆极化

如果 的振幅相等,即 而相位差为 ,即 。则在空间任取一固定点,例如 处,则 变成

消去 ,即

此为圆方程,合成矢量端点轨迹为圆。 轴夹角为

对于 的点,则

式可知,合成电场矢量的大小不变,其矢端以角频率 作圆周运动,即矢端轨迹为圆,故为圆极化波。

时,,这时 的端点旋转方向与波的传播方向 之间呈右手螺旋关系,故称为「右旋圆极化波

反之当 时,,这时 的端点旋转方向与波的传播方向 之间呈左手螺旋关系,故称为「左旋圆极化波

注意,对于右旋圆极化波,由于 ,所以

同理,对于左旋圆极化波,由于

以上所定义的左/右旋圆极化波,是在空间固定一点处观察电场随时间的变化而得到的。另一方面,如果在固定时刻观察空间电场传播方向的变化(即电场沿 轴的变化轨迹),它的大小和方向与某一垂直平面上,即 为定值时,电场随时间变化的情况刚好相反。

3. 椭圆极化

更一般的情况是 间为任意关系。在 处,由式

消去

其中 。这是一个椭圆方程。因为方程中不含 的一次项,故椭圆中心在坐标系原点,如图示。

可见,在空间固定点上 不断改变其大小和方向,其矢端轨迹为椭圆,故为椭圆极化波。显然,圆极化和线极化均可视为椭圆极化的特例

其轴比为

在椭圆极化时, 轴的夹角为

的矢端旋转速率为

其中 。可见,当 时,即 时, 为「右旋椭圆极化」。反之,当 时, 为「左旋椭圆极化

可见, 的旋转速率不为常数,而是时间的函数。只有当 时,即圆极化时, 为常数。

极化是电磁波的重要性质之一。平面电磁波可以是线极化,圆极化或椭圆极化的。由上述讨论可知,无论何种极化电磁波,都可以用两个极化方向互相垂直的线极化叠加而成,如式 所示的 的方向的两个线极化波 ,或者说,无论何种极化波,总可以将其任意分解为极化方向互相垂直的两个线极化波

因此,在沿均匀、各向同性媒质的平面波传播时,只要研究线极化波的传播规律即可。

例题

证明:一线极化波可分解为振幅相等,旋向相反的两个圆极化波的叠加

解:设线极化波的电场为

所以

式中第一项为右旋圆极化波,第二项为左旋圆极化波,它们的振幅均为 ,复振幅分别为

(每年必考!大多数考下面的任意方向波)

注意,关于沿任意方向 传播的均匀平面波,其极化方式的判断如下。

  1. 根据给定的均匀平面波电场强度表达式,得到其复振幅矢量表达式,并由 求出波矢量
  2. 将复振幅矢量表示为实部矢量和虚部矢量的形式

  1. 如果 ,则表明 ,或其中之一为零,则此时 为线极化波。
  2. 如果 ,且 则表明 相互垂直且模值相等,表明 为圆极化波。进一步地,如果此时 的方向指向波的传播方向,即满足右手螺旋关系,则为右旋圆极化波;如果此时 的方向指向波的传播反方向,即满足左手螺旋关系,则为左旋圆极化波
  3. 如果既不满足 ,也不满足 ,且 ,则一般为椭圆极化波,且其旋转方向的判定方法同第四步

此方法的实质,就是利用了平面波的电场矢量方向垂直于波传播方向。在与波传播方向垂直的平面内,将电场的复振幅矢量分解为相互垂直的两个分量,并观察这两个分量之间的幅度和相位关系来判断极化方式。相当于对原 坐标系进行坐标旋转,使新坐标系的 轴为波的传播方向。

四、无界导电媒质中的平面波

在媒质参数均为实常数 的无源导电媒质中因 ,媒质中将有由电场引起的传导电流,其密度为 ,因而有能量损耗,损耗功率密度为 ,因此平面波在其中的传播特性与理想介质不同的。

时,时谐场所满足的 Maxwell 方程组为

第一式可写作

式中, 称为介电媒质的「等效复介电常数」,其中虚部与实部之比 时媒质中传导电流密度 与位移电流密度 的数值之比。

可知,引入复介电常数后,导电媒质中的场方程与理想介质的场方程形式完全相同。对 式两边取旋度,可得 的波动方程

如令

并利用 两式后,可化为

由此可见,在 两种情况下, 的波动方程也有完全相同的形式。因此,就电磁波在其中的传播而言,可把导电媒质等效地看成一种媒质,其等效介电常数为复数。这样,可由理想介质中平面波的解直接得到导电媒质中平面波的解

,其中 为实矢量。若令

因此

其中 表示波沿 增大的方向传播。

式可见,导电媒质中平面波的波矢量 复矢量,传播常数 为复数。电场振幅 的因子随 增大而减小,因此, 是表明每单位距离波衰减程度的常数,称为「衰减常数」, 表示每单位波落后的相位,称为「相位常数」。

两边平方,并以 式代入,得

因此

当理想介质,即

所示的电场的解还需满足 的条件,这样得到

其中 ,即为 方向上的单位矢量,为实的单位矢量。由 Maxwell 方程的第二式有

可见,导电媒质中的平面波仍为 TEM 波。假设波是沿 方向传播的线极化波,极化方向为 轴方向,则由 式有

复振幅之比为

为复数,称为「复波阻抗」或「复本质阻抗」,记为 ,则

式中 。复波阻抗是个复数,记复波阻抗的相角为 ,此时复波阻抗表示为 ,得

假设波是沿 方向传播的,所以

其对应的瞬时值为

上式表明,由于导电媒质的本质阻抗为复数,导致在空间上相互垂直的电场与磁场矢量在时间上出现了相差 ,在良导体中由于 很大,因此 ,也就是说,在良导体中,电场强度的相位比磁场强度的相位超前 45 度。此外,由于等相位面()和等振幅面()均为 的平面,二者重合,故 式表示的是导电媒质中的均匀平面波。

在导电介质中,波的相速为

波长为

可见,。所以导电媒质中的相速度和波长均小于理想介质中的相速与波长,且相速还是频率的函数,即出现了色散效应,导电媒质是一种「色散」媒质。平均能流密度为

即:由于焦耳热损耗, 沿传播方向按指数规律衰减。此外,导电介质中的电、磁能密度不再相等,且

我们已经知道, 的虚部与实部之比 表示传导电流与位移电流大小之比。如果媒质中位移电流远大于传导电流 ,则媒质主要表现为介质的特性,称他为「良介质」。反之,如果传导电流远大于位移电流,,则媒质主要表现为导体的特性,称他为「良导体」。一般来说,取 作为分界。

注意, 不仅与媒质本身的性质有关,还与波的角频率 有关。即同一种媒质,对于不同频率的波,可能是良介质也可能是良导体。

对于良介质,其衰减常数可进行近似。由于 ,因此

五、相速与群速

前面几节我们研究了单一频率的稳态电磁波(即单色波),在理想介质和导电媒质中的传播特性。事实上,并不存在这种理想化的波,而且这种波也不能携带任何信息。实际所能产生的应用的电磁波,都不是单一频率的,而是频率离散的或连续的分布在一定范围内。在线性媒质中,由于 Maxwell 方程是线性的,不同频率的波叠加后仍是方程的解。

对于单色平面波,若沿 方向传播,其表达式为

式中, 为任意的复振幅系数。其等相位面方程为

由此得到相速

可见,单色波的相速通常取决于相移常数 ,依据 关系的不同,相速可以实常数,也可以是频率的函数。

,媒质为色散媒质。非单色波在色散媒质中传播时,其不同频率分量具有不同相速。波在传播过程中将改变个频率分量的相位关系,从而使波形发生变化。那么,这时波的传播速度的计算方式如下

设有两个振幅相等,频率相差不大的正弦波,其频率和相移常数分别为

且有 则这两个正弦波可以写为

合成波为

可见,可把合成波看成是正弦波,其振幅 随时间缓慢变化,以 变化。固定时刻合成波的空间分布是一系列按一定周期排列的波群。随着 增加,整个波群向 方向传播。包络波的等相位面是

包络波的推进速度为

上式就是包络波上某一恒定相位点推进的速度。在 的极限情况下,有

称为「群速」。可见,群速表示由若干个频率分量组成的非单色波的整个波群传播的速度

由上式可见,当 无关时,即在非色散媒质中时,有 ,则 ,这时各频率分量的相速均相等,且等于群速,在传播过程中波形不会发生变化。

如果 有关,且 增大时 减小,即 ,所以有 ,这时的色散为「正常色散」。

如果 有关,且 增大时 也增大,即 ,所以有 ,这时的色散为「反常色散」。

群速是波群传播的速度。从上面的推导过程可以看出,在色散媒质中,只有当波群作为一个整体运动并在传播过程中变形足够慢时,群速才有意义,信息的传播才不会失真,这时才可以用群速描述波的传播速度

用群速来表示色散媒质中的信息传播速度是,须满足以下两个条件

  • 满足窄带条件
  • 媒质的导电性较弱以保证色散较弱

当不满足上述任意一个或两个条件时,波的各频率分量将以显著不同的相速传播,因而在传播过程中波形将发生剧烈畸变,在这种情况下,群速将失去意义。注意,不论何种情况下,能量传播速度都可以用同样方法计算

在导电媒质中

六、电磁波在不同媒质中的传播

本章前面几节讨论了平面波在无界均匀媒质中的传播,从现在开始将研究平面波在两种不同媒质中的传播,且两种媒质的分解面为无限大平面。

实验表明,当电磁波由一种媒质射向另一种媒质时,在分界面处将发生反射和折射现象,入射波的一部分能量由分界面反射回媒质 1,而另一部分能量透入媒质 2。于是,媒质 1 中除入射波以外还会有反射波,入射波与反射波叠加成为媒质 1 中的合成波。同时,媒质 2 中将有透射波。事实上,只有当反射波,透射波和入射波同时存在时,分界面处的边界条件才得以满足。

因此,研究存在几种媒质时电磁波的传播问题,就是要找出满足给定分解面上边界条件的电磁场分布,因而属于电磁场边值问题,而边界条件则是处理这类问题的基础。

本节我们首先研究平面波在不同媒质分界面处的反射和折射规律,从而得到反、折射定律,然后分别讨论平面波由一种媒质以不同角度射向另一种媒质时,各媒质中波的传播特性。

1. 平面波在分界面处的反射和折射定律

设两种半无限大的理想介质的分解面为 平面。媒质参数分别为 。设平面电磁波由媒质 1 入射到分解面上,在该处产生反射波和折射波。假设反射波和折射波也都可以表示为平面波(这种假设是否正确,要根据是否满足分界面上边界条件来判定。事实上,对于分解面为无穷大平面的情况,这种假设是能够满足边界条件的,因此假设是正确的)

设以下标 分别表示入射波,反射波和折射波,则它们的电场可写为

式中

分别是入射波、反射波和折射波的波矢量。

媒质 1 中的总电场为 ,总磁场为

媒质 2 中的总电场为 ,总磁场为

根据边界条件,在分界面处 电场 ,磁场 的切向分量应该相等,即

将分界面上任一点的矢径记为 ,其中 是分界 面 上任一点的位置矢量,则由上式可写出

上式要对任一时刻 和分界面上任意一点 均成立,式中各指数应相等。由于 是互为独立的变量,所以

以及

如果设 为分界面法向单位矢量,则由于 ,因此

代入到 式中,并利用矢量恒等式

得到

由此可以得到三个结论

  1. 如果将 构成的平面称为「入射面」,则 均在入射面内,这是因为 决定的平面的法线、由 决定的平面的法线与入射面的法线平行,因此 共面
  2. 若令 分别表示 的夹角,则由

入射角等于反射角

  1. 式中的

或写成

此即「折射定理」,或称为「斯涅尔定律」(Snell)。以上得到的结果是在假定媒质 均为理想介质时得到的,他们也适用于导电媒质,因为在推导过程中只用到了电场的切向分量连续的边界条件,只是介电常数和传播常数应该用复介电常数和复传播函数代替。

使用折射定律时,需注意以下三点:

  1. 当入射角给定时,可由折射定律 式决定折射角,而均匀平面波的入射角为 内的实角
  2. 为复数时, 变为复数,此时为表面波
  3. 均为实数,但有 时, 为复数,从而保证 ,此时对应的是全反射。

即:当电磁波从光密媒质射向光疏媒质,且入射角大于临界角时,发生全反射。

2. 平面波向媒质分解面上垂直入射

当垂直入射时,,根据反射定律,,即反射波和透射波也是垂直于分界面传播的。设入射波与反射波电场 的极化方向相同,均为 轴方向,根据坡印廷定理 可推知磁场的方向。此时媒质 1 中入射波和反射波

媒质 2 中有透射波

在分界面( 平面)处的边界条件要求电场和磁场的切向分量连续,即

注意,此处磁场切向分量连续的边界条件并不与第六章的结论矛盾。因为此时是将导电媒质等效看成是有极化损耗的介质,因此认为分界面上没有面自由电流

定义:

媒质 1 中分界面处反射波电场的切向分量的振幅与入射波电场的切向分量的振幅之比 称为「反射系数R

媒质 2 中分界面处透射波电场的切向分量的振幅与媒质 1 中分界面处的入射电场和切向分量的振幅之比 称为「折射系数T

则由

式中, 分别为媒质 1 和媒质 2 的本质阻抗,分别为

由于媒质 2 的 ,故 为复数, 也为复数,且 ,此时媒质 2 中的透射波为

可见这时媒质 2 中的波为衰减波,衰减速率由 决定。此外,还可引入另外一个表示透射波衰减特性的量「穿透深度」或「趋肤厚度」,记为 ,其定义为:透射波的振幅衰减到表面的 处时透入到媒质 2 中的距离,即

因此得到

以上的讨论适用于媒质 2 为一般导电媒质。下面研究三种特殊情况:媒质 2 分别为良导体,理想导体和理想介质

2.1 良导体

对于良导体满足

因此有

所以穿透深度为

由此可见,在满足 条件下,频率越高, 越大,$\delta $ 就越小

例如,电磁波透入铜,铜的参数为 ,当频率 ,而当

可见,当电磁波进入良导体的距离为几个穿透深度时,振幅即接近于零。故良导体中电磁场和传导电流实际上仅存在导体表面处极薄的一层中。电磁场及电流集中于导体表面附近的现象,称为「趋肤效应」。由于 很小,故在频率很高时,对于一切具有实际意义厚度的导体,电磁波都是不能透过的。

当电磁波由空气垂直入射到良导体表面时,反射系数为

式中 ,所以 故可将上式中的 项用二项式展开并略去高次项

可见,良导体的反射系数很接近于 ,代入到 中,得到

所以良导体中的电磁场可近似为

从而可求出单位面积上进入良导体的复功率流

实功率流为

良导体中的传导电流密度为

由此可以求出通过沿 方向单位长度而沿 方向为 的截面上的总电流为

另一方面,在导体表面上,沿 方向上单位长度的电压为

将此电压 与通过沿 方向单位长度沿 方向 的面上的电流 之比,定义为导体的「表面阻抗

其中

分别称为「表面电阻」和「表面电抗」,所以单位表面积的导体,厚度为 的平均焦耳热损耗为

式中 是通过单位宽度的半无限厚导体的总电流,它主要集中于表面附近。

因为理想导体内部 为零而只有面电流,由边界条件可知,理想导体的面电流密度 等于表面处的磁场强度 。而由式 可知,对于 的理想导体 ,因此

而对于良导体,前面已计算出 。可见,良导体中的 近似等于把它视为理想导体时的面电流密度,即 。所以,在使用 式计算良导体的功率损耗时,往往可以将导体的 当成无限大求出表面处的电磁场和面电流 ,然后再令 ,从而计算导体损耗 。这是一种近似方法,称为「微扰法

计算的表面电阻 。由此式可以看出, 正好是横截面积为 (沿 方向宽为 ,沿 方向厚为 米(沿电流方向,即 方向)的长方体导体块的直流电阻。

这样,当导体沿电流方向的长为 ,垂直于电流方向宽为 时,整个导体的表面电阻为

也适用于导体表面不是平面,且导体不是无限厚的情形,只要导体的表面曲率及厚度远大于穿透深度即可,因此,这两个式子具有普遍的使用价值。

例题

(往年的一次压轴题)
一个线极化的均匀平面波,沿 轴方向从空气垂直入射到表面积为 平方米的铜板上

2.2 理想导体

当媒质 2 为理想导体,即 ,所以有

所以,平面波入射于理想导体表面时,能量全部反射,透射波为零,故称为「全反射」。这时,只需要考虑媒质 1 中的波

磁场 可由 Maxwell 方程求出为

其瞬时值为

可见,媒质 1 中的合成场不再是行波,而是一个驻波。在固定时刻 ,电场和磁场沿 的分布是幅度不同的正弦波。在空间某些固定点处,电场幅度总是最大,磁场总是为零,这些点出现在

处,其中 ,注意,媒质 1 存在于 的区域。这些点称为电场的「波腹点」,磁场的「波节点」。在另一些固定点处,电场总是为零,而磁场幅度总是最大,出现在

这些点称为电场的「波节点」,磁场的「波腹点」。综上所述, 所表示的电磁场的波形并不随时间的推移,而移动,不同位置处随时间变化的正弦波具有不同的振幅,在空间上有固定的腹点节点,即形成「驻波」。

式可进一步计算出驻波的能流密度的瞬时值和时间平均值,以及电能密度 ,磁能密度 ,总磁能密度

由计算结果可知,每隔 驻波的能量流动方向要改变一次,而穿过任意一点的能流密度的平均值恒为零,在从 的时间内,磁能逐渐转换为电能,在下一个 时间内,电能又转换为磁能,且电能与磁能之间的转换只限于在两个波节点之间 的空间范围内进行。可见,电能与磁能在一定空间范围内周期性转换,形成了电磁振荡。这与低频 LC 回路中谐振时的能量关系一样。因此我们说,形成电磁驻波就形成了电磁振荡

2.3 媒质 1 和 媒质 2 均为理想介质时

这时

均为实数,由 可知,反射系数和透射系数为

可见,这时媒质 2 中的波为无衰减的行波,而媒质 1 中的波仍为入射波与反射波的合成。且当 ,表示在 平面处,反射波电场与入射波电场同相迭加,合成电场有最大值,合成磁场有最小值(但不为零)反之,当 时,,表示 平面处,反射电场与入射电场反相迭加,电场有最小值(但非零),磁场有最大值。

可见, 振幅的最大值和最小值分布在空间固定的位置,有固定的波腹点和波节点,但波节点上场强幅度不为零,故媒质 1 中的波既有驻波的特点,又有行波的特点,称为「行驻波

(下面这个概念不一定考,听就好了)

为了表示行驻波的振幅起伏程度,定义「驻波比 来表示行驻波的振幅起伏程度

因为

所以

得到

从上述各种情况的讨论可以看出,均匀平面波垂直入射到媒质分解面上的反射和传输的情形,与传输线上的电磁波的传播方向完全相似。我们把平面波的正向和反向行波的场量,相应的传输线方程对比地写出来,从而更清楚看出它们的相似性

可见,当进行如下的物理量替代时,可得到两种系统中的方程和特性参量

因此,可以从一种系统的结果导出另一种系统中的结果。特别注意, 均为场强之比。而复功率反射系数和复功率传输系数定义为

所以

但是当均为良介质或理想介质时有

例如,当平面波垂直入射到三种媒质系统中时,可等效为将半无限大媒质 3 看成是阻抗为 的负载,加载于媒质 2

这样,在媒质 2 与媒质 3 的分界面处的输入阻抗和反射系数,传输系数分别为

而在媒质 1 与 媒质 2 的分界面处的输入阻抗和反射系数,传输系数为

式中 为三种媒质的本质阻抗(波阻抗)

它们等效于传输线中的特性阻抗, 是平面波在媒质 2 中的传播常数。

  1. 如果 ,即 ,这时 ,则电磁波垂直入射到媒质 1 与媒质 2 的分界面时,没有反射,能量全部进入媒质 2 和 3 中,此时称发生了「阻抗匹配
  2. 如果 ,即 ,这时 ,则电磁波垂直入射到媒质 1 与媒质 2 的分界面时,出现全反射。这时要求 ,当 为实数时,要求 为复数,即媒质 2 为漏电介质,或良导体,理想导体

就是媒质 2 与媒质 3 对垂直入射平面波总的响应结果,它可以看成是对媒质 1 的加载阻抗

从上面的例子我们可以看出,垂直入射到分解面上的均匀平面波的反射和传输特性,与传输线上 TEM 波的反射和传输特性是完全相似的。

上述等效的方法可计算多于三种媒质的情形,媒质既可为理想介质,也可为导电媒质或理想导体。

2.4 多层媒质

对于多层媒质的垂直入射,反射系数表示为

例题

频率为 的均匀平面波从空气垂直入射到厚度为 的水体表面,如图,已知水体

3. 平面波向媒质分解面上斜入射

当一个均匀平面波以任意角度入射到两种媒质的分界面时,入射波电场一定在与 垂直的平面内。 在此平面内可以任意取向,但可以将其分解成垂直入射面及平行于入射面的两个分量

这样,分别讨论了 垂直及平行于入射面这两种条件下的反射,折射问题后,就可通过叠加来处理一切可能的极化状态的反射折射问题。

当入射波的电场 平行于入射面时,入射波称为「平行极化波」,当入射波的电场垂直于入射面时,入射波称为「垂直极化波」。一下我们分别讨论均匀平面波斜入射到理想导体和理想介质分界面这两种特殊情况

3.1 向理想导体界面上斜入射

由于电磁波不能透入理想导体,故当均匀平面波斜入射到理想导体时,透射波为零,只需处理反射波和媒质 1 中的合成波。以下分两种极化情况讨论

3.1.1 垂直于入射面

垂直于入射面。取坐标系,设 给定,首先在给定坐标系中写出入射波的电磁场表达式。因为 ,所以有

再求反射波的电磁场。由反射定律可知,,所以

若设反射系数为 ,注意它的定义方法:反射波与入射波切向分量的振幅之比,也是振幅之比,则反射波可表示为

由分界面处的边界条件 ,可得

所以

从而可写出媒质 1 中合成波的电磁场为

由此可分析合成波的性质。由上式可见,当

最大,即在离开分界面为 整数倍处为电场和 的波节点平面,但为 的波腹平面。而当

时,,即在离开分界面为 奇数倍处为 的波节点平面,但为电场和 的波腹平面。

可见,合成波沿 方向呈驻波分布。但 的表达式中均有因子 ,表示合成波又是沿 方向传播的行波,其相移常数为 ,故行波的相速为

式中, 是媒质 1 中均匀平面波的相速,即此媒质中的光速。

可见,合成波沿 方向传播的相速度大于入射波沿 方向传播的相速度。这一结论与相对论的理论并不矛盾,因为它并不代表实际能量传播的速度,能量传播的速度使用能速 ,信息传播的速度用群速 表示。这可由下图说明

观察与入射波波峰相对应的一个等相位面,在一个周期 内,该等相位面沿其传播方向 前进了一个波长 ,速度为 ,但此等位面沿 方向掠过的距离是 ,所以沿 方向来看,等相位面移动的速度要快一些,为

此外,由于合成波是沿 方向传播的行波,对此传播方向来说, 只有与其垂直的分量 ,而 不仅有与其垂直的分量 ,还有沿该传播方向的分量 ,故媒质 1 中的合成波为横电波,而且是非均匀平面波

3.1.2 平行于入射面

平行于入射面,取坐标系,通过与上面类似的处理过程,可得此时媒质 1 中的合成波的电磁场表达式为

注意,此时反射系数定义为电场的振幅之比,。从上式可以看出,合成波沿 方向呈驻波分布,沿 方向是行波,行波相速为 ,合成波的 垂直于行波传播方向 既有垂直于 方向的分量 ,故合成波为横磁波,而且也是非均匀的平面波

例题

一均匀平面波由空气入射到理想导体平面 上,已知入射波的电场矢量为

求:

  1. 入射波频率 和电场振幅
  2. 入射波磁场矢量
  3. 入射角
  4. 反射波电场和磁场矢量
  5. 合成波电场和磁场矢量

解:由 得波矢量为

传播常数为

入射波传播方向单位矢量为

第一题,因为 ,所以 ,入射波的电场振幅为

第二题,入射波的磁场为

第三题,由 的表达式可知, 平行于入射面极化。由

第四题,反射波传播单位矢量为

反射波电场的极化方向为

所以反射波电场为

由于 ,因此

注意, 定义为反射波与入射波电场的总振幅之比。磁场为

合成波电场和磁场为

可见,合成波沿 方向传播的行波,且为 TM 波

3.2 向理想介质界面上斜入射

当平面波由一种理想介质入射到另一种理想介质的表面时,需要研究入射波、反射波和折射波,并使其满足分界面处的边界条件。仍然分垂直极化和平行极化两种情况讨论

3.2.1 垂直于入射面

与前面类似,可以直接写出入射波和反射波的电磁波表达式

式中 为反射系数。它等于 处反射波电场切向分量与入射波电场切向分量的振幅之比。当然,也是振幅之比。透射波的 ,故透射波为

式中 为折射角,可由折射定律 为「折射系数」,它等于在 处透射波电场切向分量与入射波电场的切向分量的振幅之比,当然也是振幅之比。其中 ,且均为实数。在 处,电场和磁场的切向分量应连续,得

从而得到反射系数与折射系数为

(此公式要记,不然考试遇到了现场推比较容易出错)

其中 。注意,当 ,即媒质 2 为良导体时有

为复数折射角。媒质 2 中传播表面波

入射波和反射波叠加得到媒质 1 中的合成波

可见, 沿 方向是行驻波,沿 方向是行波。由于 在行波传播方向 方向没有分量,故为 TE 波,且也是非均匀平面波

3.2.2 平行于入射面

取坐标系,与前面过程类似,首先写出入射波,反射波和透射波的表达式,然后利用分界面处切向场连续的边界条件,可确定反射系数与透射系数由下述确定,用电场的切向分量振幅之比定义

边界条件有

得到

应先根据磁场表达式,再根据 写出入射波/反射波/折射波的电场表达式。如果按分界面处电场的振幅之比定义

边界条件为

最后得到

可见, 这两对公式可以从式 中将媒质 1 和媒质 2 的波阻抗分别换成 得到。从而,在等效传输线模型中,须将等效特性阻抗换成

式中

从而可以写出媒质 1 中合成波的电磁场表达式。由此可知,合成波沿 方向是行驻波,沿 方向时行波。由于磁场没有沿传播方向 的分量,故为 TM 波。上述反射和折射公式称为「菲涅尔公式」。该组公式也可用于媒质 1,2 是损耗媒质的情形。此时 可为复数,且 ,因此公式中的 均可为复数。

以下据此讨论两种特殊情况

情况 1

从上述讨论可知,不论对于垂直极化入射波还是水平入射波,折射角始终满足折射定律

时,由菲涅尔公式可知, 表明发生了全反射,但需注意

  • 对于垂直极化入射波,有
  • 对于平行极化入射波,有

可见,对于全反射情况,不同极化方式入射时出现了两种截然不同的结果,之所以如此,主要是由于我们对反射系数和折射系数的定义方式引起的。当按照分界面处电场的总振幅之比(而不是切向电场的振幅之比)来定义 时,对应于垂直极化或平行极化斜入射波,都有

这表明,发生全反射时,折射波仍然存在,仅仅是变成沿着分界面方向传播了,对应于 的入射角 ,称为「临界角」,记为 ,其值为

为保证 为实数,应满足 的条件。可见:

  • 当入射角为 时,折射角为
  • 当入射角为 时,折射角为 ,发生全反射
  • 时,又发生什么情况呢?由折射定理可知,若还有 ,则

即折射角为复数角,且 。这时仍然没有能量传入媒质 2 中,媒质 2 中虽然没有电磁波传入,但由于要求在分界面上切向场连续,在媒质 2 中应有场量存在,这些场量沿 方向做指数衰减,即 分量变为虚数

所以,当 时发生全反射。但为了保证 为实数,必须 ,即只有当电磁波从光密媒质透射到光疏媒质表面,且 时才能发生全反射。

利用上述结论,当我们保证使入射角 时,电磁波从介质射向空气时就会发生全反射,此时电磁能量将集中于介质中传输,而在空气一侧将没有传输波,只有衰减波(表面波),这时, 分量为虚数,但 仍为实数(表面波沿 轴传播)。

利用此原理,可涉及多种介质波导,例如平行板介质波导,矩形介质波导,圆柱棒介质波导,介质镜像线,NRD 波导,光纤等。

情况 2

另一种情况是,,即没有反射波,入射能量全部传入媒质 2 中,即全传输的情况。对于垂直极化入射波,当 时,有 ,所以 或要求 ,即必须两种媒质完全相同,垂直极化波才能发生无反射传输。

对于平行极化入射波,当 时均有

这时

同时

解得

,则由

即对于平行极化入射波,当入射角等于 时发生全传输。综上所述,对于一个在任意方向极化的均匀平面波,以 角透射到分界面时,其中的全部平行极化分量波和部分垂直极化波将传入媒质 2 中,而反射波中仅有部分垂直极化分量存在,即发生了「极化滤波」。因此 称为「极化角」或「布儒斯特角」。这时候垂直极化分量对应的反射系数和透射系数分别为

这时,如果入射波为圆极化波,入射角为 ,则其平行极化分量全部透射,垂直极化分量部分透射,因此媒质 2 中的透射波变为椭圆极化波,媒质 1 中的反射波变为线极化波,其中,垂直极化‘分量的极化滤波损耗为

所以,为了使 尽量小,则要求 ,这时有