(考试的重点,有 40 分以上的题)
(静态场大多数问答题填空题选择题,计算题大部分都是时变电磁场)
上一章里,我们已经从 Maxwell 方程组导出了无源波动方程和有源波动方恒,这些方程在一定的边界条件和初始条件下的解,表示电磁场在所给条件下的空间分布和随时间的变化规律,即电磁波的激发和传播规律。从本章开始,我们将讨论这些问题的求解,进而研究电磁波在各种条件下的传播问题。本章首先研究在无界的线性均匀媒质中无源波动方程的解及波在这些媒质中的传播。至于有源波动方程的求解,即电磁波的激发,将在《天线原理》等课程中学习。
波动方程最简单的解是「平面波」解。所谓平面波,是指波阵面或等相位面为无限大平面的波。如果在等相位面上场强的振幅也处处相等,则称为「均匀平面波」。它是电磁波最简单最基本的模式,许多复杂的波都可看作为若干均匀电磁波的叠加。因此,我们研究波动方程的均匀平面电磁波解,并讨论均匀平面波在各种无界媒质(理想介质、导电介质、磁化等离子体、磁化铁氧体)中的传播特性。
以下我们只讨论稳态时谐场,因而所有的场量均用复数表示。
在无源,即
或
式中,
上式的解可用分离变量法求得,为此,令
代入
所以
其中
上式称为「均匀各向同性介质中的色散关系」。在无限大均匀理想介质中,
式中,
因为
令
其中
式中
在任一时刻,相位相等的点组成的面称为「等相位面」。因此,
也即:
而
其中
式
注意,式
由于
即
式中,
由于
由此得到
此式说明,
可得
即
可见,磁场与电场垂直,并也与传播方向垂直。即
式
实际上,也可先求
至此,我们引出了「平面波」,「均匀平面波」,「横电磁波」三个概念,请注意其区别。一般地,「平面波」「均匀平面波」这两个概念在无界空间中使用,而「横电磁波」却广泛应用于各种媒质中。并且,我们已得到这样的结论:无界均匀理想介质中的平面波为均匀平面波,而且还是横电磁波
已知真空中传播的均匀平面波的磁感应强度矢量位
求:
解:
由
因此
因此求得
沿传播方向的单位矢为
第二题,由
或
可得
第三题,将
因此
因此
在分析无界理想介质中均匀平面波的传播时,可设波沿
式中,
所以,在理想介质中
式中,
若将等相位面行进的速度称为「相速」,记作
式中
由
将空间周期记作
因此,波长是同一时刻沿传播方向相位相差
或
因此
由
其中,
(填空题和计算题往往会出此类计算波参数的题目)
已知真空中传播的均匀平面波的频率为
解:
真空中有
第二题,在媒质
下面来看能量的传播。在理想介质中,平面波的能流密度瞬时值为
能流密度的瞬时值为
其时间平均值为
可见,
可见
由于
总的电磁能密度为
其平均值为
按定义,能流密度
可见,在理想介质中,均匀平面波的能量传播速度等于相速。此处强调一点:我们所说的「相速」
综上所述,均匀平面波在理想介质中传播的特性可以归纳为(爱考选择题)
上节得到的无界均匀理想介质中均匀平面波解:
可见,其中电场矢量的取向,总是平行于某一固定直线,或者说空间固定点处的电场矢量总是在一条固定直线上振动,我们称这样的波为「线极化波」。上式表示的即是沿
此处,所谓「极化」也叫「偏振」,是指空间任一固定点处的电场矢量的空间取向随时间变化的方式,可以采用
显然,对于均匀平面波来说,在空间所有点上,波的极化状态都是相同的。
上节已得知,无界媒质中的均匀平面波为 TEM 波。TEM 波的电场和磁场矢量均在垂直于传播方向的平面内。设波沿
其两个分量的瞬时值为
以下来研究上两式所示平面电场的两个分量取不同振幅和初相位时,空间任一固定点处合成电场的矢量端点的轨迹,从而确定其极化状态。
如果
消去
这是一直线方程,
故
如果
消去
此为圆方程,合成矢量端点轨迹为圆。
对于
由
当
反之当
注意,对于右旋圆极化波,由于
同理,对于左旋圆极化波,由于
以上所定义的左/右旋圆极化波,是在空间固定一点处观察电场随时间的变化而得到的。另一方面,如果在固定时刻观察空间电场传播方向的变化(即电场沿
更一般的情况是
消去
其中
可见,在空间固定点上
其轴比为
在椭圆极化时,
其中
由
极化是电磁波的重要性质之一。平面电磁波可以是线极化,圆极化或椭圆极化的。由上述讨论可知,无论何种极化电磁波,都可以用两个极化方向互相垂直的线极化叠加而成,如式
因此,在沿均匀、各向同性媒质的平面波传播时,只要研究线极化波的传播规律即可。
证明:一线极化波可分解为振幅相等,旋向相反的两个圆极化波的叠加
解:设线极化波的电场为
而
所以
式中第一项为右旋圆极化波,第二项为左旋圆极化波,它们的振幅均为
(每年必考!大多数考下面的任意方向波)
注意,关于沿任意方向
此方法的实质,就是利用了平面波的电场矢量方向垂直于波传播方向。在与波传播方向垂直的平面内,将电场的复振幅矢量分解为相互垂直的两个分量,并观察这两个分量之间的幅度和相位关系来判断极化方式。相当于对原
在媒质参数均为实常数
第一式可写作
式中,
由
如令
并利用
由此可见,在
而
因此
其中
由
将
因此
当理想介质,即
其中
可见,导电媒质中的平面波仍为 TEM 波。假设波是沿
为复数,称为「复波阻抗」或「复本质阻抗」,记为
式中
假设波是沿
其对应的瞬时值为
上式表明,由于导电媒质的本质阻抗为复数,导致在空间上相互垂直的电场与磁场矢量在时间上出现了相差
在导电介质中,波的相速为
波长为
可见,
即:由于焦耳热损耗,
我们已经知道,
注意,
对于良介质,其衰减常数可进行近似。由于
前面几节我们研究了单一频率的稳态电磁波(即单色波),在理想介质和导电媒质中的传播特性。事实上,并不存在这种理想化的波,而且这种波也不能携带任何信息。实际所能产生的应用的电磁波,都不是单一频率的,而是频率离散的或连续的分布在一定范围内。在线性媒质中,由于 Maxwell 方程是线性的,不同频率的波叠加后仍是方程的解。
对于单色平面波,若沿
式中,
由此得到相速
可见,单色波的相速通常取决于相移常数
当
设有两个振幅相等,频率相差不大的正弦波,其频率和相移常数分别为
及
且有
合成波为
由
包络波的推进速度为
上式就是包络波上某一恒定相位点推进的速度。在
由上式可见,当
如果
如果
群速是波群传播的速度。从上面的推导过程可以看出,在色散媒质中,只有当波群作为一个整体运动并在传播过程中变形足够慢时,群速才有意义,信息的传播才不会失真,这时才可以用群速描述波的传播速度
用群速来表示色散媒质中的信息传播速度是,须满足以下两个条件
或
当不满足上述任意一个或两个条件时,波的各频率分量将以显著不同的相速传播,因而在传播过程中波形将发生剧烈畸变,在这种情况下,群速将失去意义。注意,不论何种情况下,能量传播速度都可以用同样方法计算
在导电媒质中
本章前面几节讨论了平面波在无界均匀媒质中的传播,从现在开始将研究平面波在两种不同媒质中的传播,且两种媒质的分解面为无限大平面。
实验表明,当电磁波由一种媒质射向另一种媒质时,在分界面处将发生反射和折射现象,入射波的一部分能量由分界面反射回媒质 1,而另一部分能量透入媒质 2。于是,媒质 1 中除入射波以外还会有反射波,入射波与反射波叠加成为媒质 1 中的合成波。同时,媒质 2 中将有透射波。事实上,只有当反射波,透射波和入射波同时存在时,分界面处的边界条件才得以满足。
因此,研究存在几种媒质时电磁波的传播问题,就是要找出满足给定分解面上边界条件的电磁场分布,因而属于电磁场边值问题,而边界条件则是处理这类问题的基础。
本节我们首先研究平面波在不同媒质分界面处的反射和折射规律,从而得到反、折射定律,然后分别讨论平面波由一种媒质以不同角度射向另一种媒质时,各媒质中波的传播特性。
设两种半无限大的理想介质的分解面为
设以下标
式中
分别是入射波、反射波和折射波的波矢量。
媒质 1 中的总电场为
媒质 2 中的总电场为
根据边界条件,在分界面处
将分界面上任一点的矢径记为
上式要对任一时刻
以及
如果设
代入到
得
得到
由此可以得到三个结论
即入射角等于反射角
此即「折射定理」,或称为「斯涅尔定律」(Snell)。以上得到的结果是在假定媒质
使用折射定律时,需注意以下三点:
即:当电磁波从光密媒质射向光疏媒质,且入射角大于临界角时,发生全反射。
当垂直入射时,
媒质 2 中有透射波
在分界面(
注意,此处磁场切向分量连续的边界条件并不与第六章的结论矛盾。因为此时是将导电媒质等效看成是有极化损耗的介质,因此认为分界面上没有面自由电流。
定义:
媒质 1 中分界面处反射波电场的切向分量的振幅与入射波电场的切向分量的振幅之比
媒质 2 中分界面处透射波电场的切向分量的振幅与媒质 1 中分界面处的入射电场和切向分量的振幅之比
则由
和
式中,
且
由于媒质 2 的
可见这时媒质 2 中的波为衰减波,衰减速率由
或
因此得到
以上的讨论适用于媒质 2 为一般导电媒质。下面研究三种特殊情况:媒质 2 分别为良导体,理想导体和理想介质
对于良导体满足
因此有
所以穿透深度为
由此可见,在满足
例如,电磁波透入铜,铜的参数为
可见,当电磁波进入良导体的距离为几个穿透深度时,振幅即接近于零。故良导体中电磁场和传导电流实际上仅存在导体表面处极薄的一层中。电磁场及电流集中于导体表面附近的现象,称为「趋肤效应」。由于
当电磁波由空气垂直入射到良导体表面时,反射系数为
式中
得
可见,良导体的反射系数很接近于
所以良导体中的电磁场可近似为
从而可求出单位面积上进入良导体的复功率流
实功率流为
良导体中的传导电流密度为
由此可以求出通过沿
另一方面,在导体表面上,沿
将此电压
即
其中
式中
因为理想导体内部
而对于良导体,前面已计算出
由
这样,当导体沿电流方向的长为
式
(往年的一次压轴题)
一个线极化的均匀平面波,沿
当媒质 2 为理想导体,即
所以,平面波入射于理想导体表面时,能量全部反射,透射波为零,故称为「全反射」。这时,只需要考虑媒质 1 中的波
磁场
其瞬时值为
可见,媒质 1 中的合成场不再是行波,而是一个驻波。在固定时刻
即
这些点称为电场的「波节点」,磁场的「波腹点」。综上所述,
由
由计算结果可知,每隔
这时
均为实数,由
可见,这时媒质 2 中的波为无衰减的行波,而媒质 1 中的波仍为入射波与反射波的合成。且当
可见,
(下面这个概念不一定考,听就好了)
为了表示行驻波的振幅起伏程度,定义「驻波比」
因为
所以
得到
从上述各种情况的讨论可以看出,均匀平面波垂直入射到媒质分解面上的反射和传输的情形,与传输线上的电磁波的传播方向完全相似。我们把平面波的正向和反向行波的场量,相应的传输线方程对比地写出来,从而更清楚看出它们的相似性
可见,当进行如下的物理量替代时,可得到两种系统中的方程和特性参量
因此,可以从一种系统的结果导出另一种系统中的结果。特别注意,
所以
即
但是当均为良介质或理想介质时有
例如,当平面波垂直入射到三种媒质系统中时,可等效为将半无限大媒质 3 看成是阻抗为
这样,在媒质 2 与媒质 3 的分界面处的输入阻抗和反射系数,传输系数分别为
而在媒质 1 与 媒质 2 的分界面处的输入阻抗和反射系数,传输系数为
式中
它们等效于传输线中的特性阻抗,
从上面的例子我们可以看出,垂直入射到分解面上的均匀平面波的反射和传输特性,与传输线上 TEM 波的反射和传输特性是完全相似的。
上述等效的方法可计算多于三种媒质的情形,媒质既可为理想介质,也可为导电媒质或理想导体。
对于多层媒质的垂直入射,反射系数表示为
频率为
当一个均匀平面波以任意角度入射到两种媒质的分界面时,入射波电场一定在与
这样,分别讨论了
当入射波的电场
由于电磁波不能透入理想导体,故当均匀平面波斜入射到理想导体时,透射波为零,只需处理反射波和媒质 1 中的合成波。以下分两种极化情况讨论
再求反射波的电磁场。由反射定律可知,
若设反射系数为
由分界面处的边界条件
所以
从而可写出媒质 1 中合成波的电磁场为
由此可分析合成波的性质。由上式可见,当
时
时,
可见,合成波沿
式中,
可见,合成波沿
观察与入射波波峰相对应的一个等相位面,在一个周期
此外,由于合成波是沿
平行于入射面,取坐标系,通过与上面类似的处理过程,可得此时媒质 1 中的合成波的电磁场表达式为
注意,此时反射系数定义为电场的振幅之比,
一均匀平面波由空气入射到理想导体平面
求:
解:由
传播常数为
入射波传播方向单位矢量为
第一题,因为
第二题,入射波的磁场为
第三题,由
第四题,反射波传播单位矢量为
反射波电场的极化方向为
所以反射波电场为
由于
注意,
合成波电场和磁场为
可见,合成波沿
当平面波由一种理想介质入射到另一种理想介质的表面时,需要研究入射波、反射波和折射波,并使其满足分界面处的边界条件。仍然分垂直极化和平行极化两种情况讨论
与前面类似,可以直接写出入射波和反射波的电磁波表达式
式中
式中
从而得到反射系数与折射系数为
(此公式要记,不然考试遇到了现场推比较容易出错)
其中
为复数折射角。媒质 2 中传播表面波
入射波和反射波叠加得到媒质 1 中的合成波
可见,
取坐标系,与前面过程类似,首先写出入射波,反射波和透射波的表达式,然后利用分界面处切向场连续的边界条件,可确定反射系数与透射系数由下述确定,用电场的切向分量振幅之比定义
边界条件有
得到
应先根据磁场表达式,再根据
边界条件为
最后得到
可见,
式中
从而可以写出媒质 1 中合成波的电磁场表达式。由此可知,合成波沿
以下据此讨论两种特殊情况
从上述讨论可知,不论对于垂直极化入射波还是水平入射波,折射角始终满足折射定律
当
可见,对于全反射情况,不同极化方式入射时出现了两种截然不同的结果,之所以如此,主要是由于我们对反射系数和折射系数的定义方式引起的。当按照分界面处电场的总振幅之比(而不是切向电场的振幅之比)来定义
这表明,发生全反射时,折射波仍然存在,仅仅是变成沿着分界面方向传播了,对应于
即
当
为保证
即折射角为复数角,且
所以,当
利用上述结论,当我们保证使入射角
利用此原理,可涉及多种介质波导,例如平行板介质波导,矩形介质波导,圆柱棒介质波导,介质镜像线,NRD 波导,光纤等。
另一种情况是,
对于平行极化入射波,当
这时
同时
解得
若
即对于平行极化入射波,当入射角等于
这时,如果入射波为圆极化波,入射角为
所以,为了使