条件数学期望

属于数字特征

一、定义

1. 离散型

$设是二位离散型随机变量，有联合概率分布$

$则有边缘分布$

$已知时有条件分布$

若

$于是可以定义条件下的数学期望，即$

2. 连续型

$设，是二维连续型随机变量，有概率密度，，有边缘概率密度$

$对于满足的已知时有条件概率密度$

若

$定义条件下的数学期望$

3. 综合定义

$设是二维随机变量如果时在条件下的数学期望$

$就称为关于的条件数学期望，简称为条件期望，记为$

$同样，也可定义关于的条件期望$

二、定义

$设是随机变量是函数，又设所有随机变量的数学期望均存在，则$

1. 常数

由条件期望的定义可以直接得到

2.

证明：将Y和y互换，得到常数，因此可以直接提出来

3.

$独立时$

证明

$独立时有$

4. 全期望公式

证明：

$右边$

其中，而积分式算出来以后应是一个关于的函数，记其为，则上式化为

$右边$

记的概率密度函数为，则上式化为

$左边$

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Table Of Contents

条件数学期望

3. 综合定义

4. 全期望公式