时变电磁场

前几章，我们讨论了静态场，包括静止电荷的电场和恒定电流产生的电场和磁场。在那些情况下，电场和磁场是独立地存在着的，因而可以分开研究。在电荷、电流随时间变化时，它们产生的电场和磁场也是随时间变化的，这时的电场和磁场不再是相互无关的了。本章就要讨论这种随时间变化的电磁场，即时变电磁场，这是电磁场的一般情形。

在恒定磁场中，我们曾设计随时间做缓慢变化的电磁场，法拉第电磁感应定律揭示时变磁场会激发出电场，并且可以看作是静电场无旋性在事变条件下的推广，即静电场的推广至，但仅做这样的推广还不能全面反映一般时变场的运动规律。尽管如此，时变电磁场的基本理论仍然是在静态场的基础上发展起来的

据此，本章先将前面已有的基本电磁定律推广到一般的时变场，得出时变电磁场的基本方程组，然后讨论电磁场的能量关系，运动规律和计算方法

一、静态场方程在时变条件下的推广

前面讨论过的基本电磁定律，归纳起来有

高斯定理：

磁通连续性原理：

电磁感应定律：

安培环路定律：

以及反应媒质特性的组成关系

此外，还有表示电荷守恒的电流连续性方程

如前所述，式是静电场方程在时变条件下的推广。同时，第四章中也将推广用于时变场。为了考察是否适用于时变场，我们来研究电容器在充放电过程中电流与磁场的关系

如图示，设电容器中的介质是理想的，因而电容器极板间不可能有传导电流或运流电流。但当开关接通瞬间，导线中必然有电流流向电容器充电并在空间中建立磁场。应用安培环路定律，若选取闭合路径沿限定的曲面与导线相交，则有：

但是如果恰好选取极板之间的平面作为曲面，再应用安培环路定律

式中为导线中的传导电流。由于可以任意选取曲面，则当我们选取使其不与导线相交而通过两极板之间的区域时，将有。这样，磁场强度沿同一闭合路径的线积分出现了两种不同结果。这就说明，静态场中的安培环路定律用于时变场时要产生矛盾。

Maxwell 首先发现并从理论上解决了这一矛盾。他假定在电容器两极板间传导电流中断处存在另一种电流，称之为「位移电流」，由一个极板流向另一个极板的位移电流的数值等于导线中的传导电流，而且位移电流与传导电流有相同的磁效应，即以相同的方式激发磁场。

引入位移电流之后，安培定律应改写为

式中，为位移电流密度。将该式用于上述电容器电路中的闭合回路，则无论是曲面还是都得到相同的结果。应用 Stokes 定理则得到式的微分形式为

在电容器问题上出现的矛盾，实质上反映了恒定电流条件下安培环路定律与时变条件下电流连续性方程之间的矛盾。由安培环路定律得到，而电流连续性则要求，两者是矛盾的。这是因为在恒定磁场中证明时，就用到了条件

我们知道，电荷守恒定律是普遍正确的，如果假定高斯定理在时变场中仍然适用，即把推广用于时变场，则电流连续性方程变为

上式表明，对时变场，但矢量的散度却为零。因此，如果将此矢量取代安培环路定律中的，即得到

这样它和电流连续性方程就相容了。而且，当场不随时间变化时，就变成恒定电流条件下的安培环路定律

式与式对比可见，可做位移电流密度，即

其单位为安培/米。将代入，即可得到推广的安培环路定律，也称为「全电流定律」。全电流为，其中为电流源。

但应注意，上面只是简单说明了在安培环路定律中引入位移电流密度就可消除它与电流连续性方程的矛盾，但这不是对全电流定律的证明。事实上，位移电流的概念是 Maxwell 于 1862 年作为一种假设提出的，后来的实验证明了这种假设的正确性。

二、麦克斯韦方程组与洛伦兹力公式

将推广的基本电磁定律写在一起，就得到一组描述宏观电磁现象的方程

其对应的微分形式为

由于电流连续性方程已包含在方程中，故无需单独列出。麦克斯韦方程组的正确性已被实验所证实，它适用于描述所有宏观电磁现象，包含高速运动系统的电磁现象。

1. Maxwell 方程组的结论

由 Maxwell 方程组可以得到以下结论：

除了电荷激发电场、运动电荷（即电流）激发磁场外，变化的磁场可以激发电场，变化的电场可以激发磁场。所以，在时变条件下，电场和磁场是统一的电磁场的两个方面，不可能单独存在。由于和以相同的方式互相激发，故意味着存在电磁波。一旦场源激发了电磁波，即使场源不再继续存在，和仍可以互相激发，并以有限的速度向远处传播
电场的散度和旋度一般均不为零，所以电力线可以是闭合的，但必须与磁力线相交连，也可以是不闭合，始于正电荷而终止于负电荷。磁场的散度恒为零，但旋度不为零，所以磁力线一定是闭合的曲线，且和电力线或电流线相交链。在没有电荷和传导电流的空间，即无源区域，电力线与磁力线总是相互交链的。
在线性媒质中，方程组是线性的，可以应用叠加原理，若干个场源同时激发的场式各个场源单独激发的场的总和。
若场量不随时间变化，则 Maxwell 即变为静态场方程
当场随时间变化，但的作用远远小于的作用，因而可以忽略位移电流时，Maxwell 方程组变为

这时只考虑了时变磁场激发的电场，而没有考虑时变电场激发的磁场，即认为磁场只是由传导电流或运流电流产生。同时，由于电场和磁场不再互相激发，空间就不会有波的传播，即没有波的传播效应存在。空间中任意一点任意时刻的场由该时刻的场源决定，一旦场源消失，场也就消失。这样的时变场称为「准静态场」或「似稳场」。一般地。当场的时间变化率很小，以致可以忽略电磁场的传播效应，或者当场随时间做正弦变化，而载电流导体的尺度远小于波长时，导体附近的场可以看成是似稳场。集中参数电路理论就是建立在似稳场基础之上的

似稳场的另一种情况是忽略，即只考虑时变电场（位移电流）即发磁场，而不考虑时变磁场激发的电场，认为电场只是由电荷来决定。例如，当电容器加有频率不是很高的正弦电压时，其极板间的电磁场就可以认为是一种忽略的准静态场

（考试经常会要求给出 Maxwell 的物理解释）

2. Maxwell 方程的辅助方程

在不同特性的媒质中，电磁场除了满足 Maxwell 方程组外，还需要有说明媒质特性的方程，它们是

注意，第三式中的是指在电场作用下导电媒质中的传导电流，它不同于 Maxwell 方程组中的，即外加的电流源与之和

这些组成关系应作为辅助方程列入 Maxwell 方程组中。对于各向同性的线性介质，式可写成

式中，是和场强无关的标量，对均匀媒质它们是常数，对非均匀媒质式坐标的函数。对于各向异性的线性媒质，可以写成

即此时媒质的特性参数是张量。对于非线性媒质，其媒质参数与场强有关，例如铁磁性物质及强电场作用下的某些介质，就属于这类媒质。一般，我们只考虑各向同性的均匀线性媒质。但应注意 Maxwell 方程组对于各种媒质，如线性与非线性，均匀与非均匀，各向同性与各向异性，都是适用的。在线性媒质中，Maxwell 方程是线性方程。

3. 边界条件

与静态场一样，时变场的边界条件也是表明越过两种不同媒质的分界面时，电磁场矢量的变化规律的。边界条件可由 Maxwell 方程组的积分形式应用于边界上求得，故实际上它是场方程在边界上所取的特殊形式。

3.1 一般情况

边界条件的推导与静态场类似。对应于 Maxwell 方程组中的每一个方程，可以得到一个边界条件。例如将方程

应用下图中的小矩形回路，在很小且的条件下

左边的闭合线积分等于，右边第二项的面积分，由于有限，故为零。

所以，或写成

对应的标量形式为

如果分界面上，则

与上述推导类似，由 Maxwell 积分形式中第二式，并考虑到为有限值，可得到

或

式中其余两式与静态场方程形式相同，故其对应的边界条件也有相同的形式，即

或

以及

或

如果界面上，即无自由电荷分布，则有

或

3.2 良介质与良导体的分界面

在微波频段，电磁场只能透入良导体中很小的距离。例如当频率为时，透入铜的距离仅为，因而场和电流都集中在其表面的薄层内。电导率越大，透入深度越小，理想导体，因此透入深度为零，其内部电场和磁场均为零，而电荷和电流均集中于其表面。为分析方便，常将良导体当作理想导体处理，类似地将绝缘性能良好的介质当做不导电的理想介质，即处理。

将又在理想导体与理想介质的分界面上，并取由导体指向介质，则有

由此可见，在这样的界面上，磁场只有平行于表面的分量，且的数值等于该点的面电流密度，且两者相互垂直。电场则只有垂直于表面的分量，且数值等于该点的自由面电荷密度

用力线表述就是，磁力线平行于理想导体表面，电力线垂直于理想导体表面。理想导体表面是电壁。

4. 洛伦兹力

运动的电荷激发电磁场，电磁场反过来对电荷有作用力。当空间同时存在电场和磁场式，以速度运动的点电荷所受的力为

如果电荷是连续分布的，其密度为，则电荷系统单位体积所受的场力为

此式称为「洛伦兹力公式」。近代物理学实践证实了洛伦兹力公式对任意运动的带电粒子都是适用的。

Maxwell 方程和洛伦兹力公式，正确反映了电磁场的运动规律以及场与带电物质的相互作用规律，它们构成经典电磁理论的基础。研究各种条件下，即不同媒质、不同边界和不同运动状态等的电磁问题，均需从这些基本方法出发。

（今天的课是每年必考的内容）

三、电磁能量

电磁场是一种物质，具有能量。实践表面，电磁能量按一定方式分布于空间，并随着场的运动变化在空间传播。按照物理学的普遍规律，不同形式的能量间可以互相转化并满足能量守恒定律。下面就从电磁场与带电体相互作用的过程中，通过电磁场的能量与机械能相互转化来求出电磁场的表达式。

考虑空间区域，其界面为，并设内没有外加的场源。随着电磁场的运动，电磁能量通过流入体积，因而内将有电磁能量储存。同时电磁场将与内的电荷相互作用。

电磁场对电荷作功的结果是，使电磁能转化为电荷的动能，或变成焦耳热。因此能量守恒定律要求，单位时间内通过界面流入内的功率，应等于场对内电荷所做的功与内电磁能量的增加率之和。

设内电荷运动速度为，单位体积中的电荷所受的场力为，则场对内电荷所做的功率为，此外，设场内单位体积的电磁能量为，则内电磁能量的增加率为。当以表示通过面流入内的功率时，则能量守恒定律可表示为

另一方面，由洛伦兹力公式可得

注意，内没有外加的场源。又因为，以及，所以

对于线性媒质，有

和

所以

利用散度定理所以

或

该式称为「坡印廷定理」。为了说明该定理的物理意义，我们来考察其中各项的含义。首先，将应用与全空间，即将扩展至无限大。若场源分布在有限区域内，则在无限远的封闭面上，和趋于零，使得面积分一项为零。于是变为

上式左边为单时间内场对内电荷所做的功，转变为热能或电荷的动能。那么，根据能量守恒定律，上式右边就是内电磁能量的减少率。所以内的电磁能量为

式中被积函数具有能量密度的含义，由此得到线性媒质中电磁能能量密度的表达式为

式中

为「电场能量密度」，与静电场能量密度的表达式相同

为「磁场能量密度」，与恒定磁场能量密度的表达式相同。再将与式对比可见，通过面流入内的电磁功率为

因此，通过面流出体积的功率为。既然在封闭面面上的积分等于流出该封闭面的电磁功率，则它就可以理解成通过面上的单位面积的电磁功率，写成

称为「坡印廷矢量」。单位为瓦/平方米。在空间任意一点上，的方向表示该点功率流的方向，而其数值则是通过能量流动方向垂直的单位面积的功率。所以，可以将坡印廷矢量称为「功率流密度」或「能流密度」。虽然我们是从积分的物理意义来解释的意义，但实验证明这种解释却是正确的。

在坡印廷定理式中，内的只是由电场引起的传导电流密度

表示内的热损耗功率。这时，坡印廷定理式可叙述为：内的热损耗功率等于通过进入内的功率与内电磁能的减少率之和。或叙述为：进入内的功率，一部分转化为热损耗，一部分使内电磁储能增加。

如果内有外加电源，则内的电流密度应是两部分之和。一部分是场所引起的传导电流，另一部分是不依赖于场的外加电流，因此：

上式右边第一项为内的热损耗功率，第二项为内电源所输出的功率（与反方向，因此它必须为负值，表示场对源电源做负功，即电源作正功，是输出功率）。这样，坡印廷定理变为

上式说明，内电源所提供的功率，等于内的热损耗功率，内电磁能的增加率和通过面流出体积的功率之和。也就是说内电源所输出的电磁能量，一部分提供内的损耗，一部分用于增加内的能量，一部分通过表面流出外。所以，坡印廷定理是时变电磁场中电磁能量守恒和转化定律，它揭示了电磁场中有能量流动这一事实。

坡印廷定理主要用于时变场。在静态情况下，变为

上式说明，在静态场内，在有源区域内，电源做的功率，一部分变成内的功耗损，另一部分通过面流出

例题

同轴线

若导线上电流为。内外导体间的电压为，求：

忽略导体电阻，计算两导体之间介质中的能流密度和同轴线的传输功率
当内导体的电导率有限时，计算通过内导体内表面进入导体内的功率流
画出同轴线的集总参数等效电路模型

解：应用高斯定律，假定导体中电荷的线密度为，则有

解得电场强度形式应为

注意到有关系

因此代换掉未知变量得到

应用恒定磁场的安培环路定律，可求得两导体间的磁场为

所以介质中的能流密度为

将对两导体间环状横截面积分，可得同轴线的传输功率为

这与用电路理论的方法求得的传输功率相同。可见，此功率是在两导体之间的介质中传输的，而不是像我们原来认为的功率在导体中传输。

再看第二题，设内导体电导率已知，且电流均匀分布在整个内导体横截面上，则在导体内部的电场为

由于在处，电场的切向分量连续。因此在紧贴内导体表面的介质内，电场除了有之前计算出的径向分量外，还有切向分量

所以在介质中处的能流密度为

上式中第一项表示沿轴方向（电流方向）的能流，第二项表示沿半径方向进入内导体的功率流，此功率流沿长度为的内导线流入的功率为

式中为该段内导体的电阻。可见，通过内导体表面进入导体内的功率流转化为导线的热损耗功率。可按同样的方法计算外导体的损耗。可见，在负载上一集在导线上消耗的功率完全是在场中传输的。在传输过程中，一部分能量进入导线内部变为焦耳热损耗；在负载处，电磁能量从场中进入负载，给负载提供它所消耗的能量。导线只是起着引导电磁能量传输的作用，导线上的电流和周围空间的电磁场互相约束，使电磁能量在导线附近的电磁场中沿一定方向传输

四、时谐电磁场

前面讨论的是一般的时变场，并没有指定场随时间变化的方式。以后我们将主要讨论时变场的一种特殊情况，即场源和场矢量的各个分量均随时间作简谐变化的时谐场，也称为正弦电磁场。这是因为时谐场分析起来最简单，而且可以用它们来构成与时间有更复杂关系的电磁场，或者说，随时间作任意变化的电磁场，可用 Fourier 变换分解为许多不同频率的时谐场来进行研究。

时谐场可以用复数表示，这使得对复杂的电磁场问题的分析和计算大大简化

1. 场矢量的复数表示

如果场矢量的各个分量均随时间作简谐变化，则像电路中的电压、电流一样可用复数来表示。以电场强度为例，可写成

式中，分别是的各分量的振幅，而分别为相应分量的初相角，它们都仅是位置的函数，为角频率。由 Euler 公式，可写为

还可进一步表示成

式中，为各分量的复振幅。上式可缩写为

式中，仅与有关，称为电场强度的「复振幅矢量」，是的共轭复量。复振幅包含了振幅和位相，直接表⽰了波在空间点的振动，或者说复振幅表⽰了波在空间的分布情况。它是一个只与空间位置有关的量。

所以，凡是需要⽤振动描述的地⽅，都可以⽤复振幅代表。复振幅的引入是为了简化数学计算。这是由于在实际的计算过程中，如果直接采用三角函数进行计算，计算非常复杂，我们也很难对计算结果进行分析。而复振幅的计算，主要是指数的计算，计算大大简化。最终结果的场性质可以直接由复振幅中的振幅，相位给出。并且无论用三角函数计算，还是复振幅计算，两者是等价的。我们只需使用欧拉公式就可以实现两者之间的互相的转换。比如我们对复振幅取实部就可以是数值等于三角函数的计算结果。

对其他的场矢量等也可类似写出复矢量，而各场矢量的分量可用一个复标量来表示。以后，常用省去的复量来表示场及其源，并去掉字母上方表示复量的点。用复量乘以并取实部，就得到与其对应的场矢量或场分量。这就是复数表示与时域表示之间的转换方法

应注意：

所谓时谐场，使之场矢量和场源的各个分量随时间作简谐变化。而场矢量的大小一般并不是时间的正弦函数。
为了使所有的场分量均是时间的正弦函数，媒质本身应该是线性的且不随时间变化，即与场矢量和时间无关。所以我们总是在线性、时不变媒质中讨论时谐场。
非时谐场：由若干个不同频率的时谐场叠加而成的场为具有一定带宽的调制信号场，例如，对于电场可表示为

2. Maxwell 方程的复数形式

以的旋度方程来说明如何用各场矢量的复振幅矢量来表示 Maxwell 方程组

由于对复数的微分运算是分别是对其实部和虚部进行的，故和和交换运算顺序，得

由于两个复数相等就意味着它们的实部和虚部分别相等，因此上式中取实部符号可去掉仍保证原方程成立。此外，再去掉，便得到用复数形式表示的的旋度方程为

仿此，便可得到用复数形式表示的 Maxwell 方程组

显然，所有正弦时间函数间的线性关系，均可转换为等效的复量关系，只需把原式中函数用对应的复量代替，而微分算子则用替代

3. 时谐场中媒质的性质

在时变场作用下，媒质中发生的极化、磁化和传导过程，是媒质中自由电荷和束缚电荷对外加场相应的结果。由于这些带电粒子同时具有质量，当外加电场变化很快时，粒子会跟不上场的变化。例如，假定电子已被场加速，当的方向改变时，由于电子具有一定的动量，它改变运动方向将有一时间滞后。因此，反映媒质电磁特性的宏观参数与场随时间的变化率有关，在时谐场条件下即与频率有关。注意，这并不意味着媒质参量随时间变化。

反映媒质电磁特性的宏观参数随外加电磁场的频率变化，这种现象称为媒质的「色散」。媒质的色散现象实际上表明了媒质在外加高频电磁场中具有损耗这一事实。损耗介质也就是色散介质，损耗和色散是同时存在的。在外加高频电磁场时，电解质的介电常数是频率的复函数

称为「复介电常数」。其中是介质的相对介电常数，总是大于零的正数，与介质极化损耗相对应，称为介质的「损耗因子」

为了说明反映介质损耗，可将复介电常数代入 Maxwell 方程组的第一式

可见，复介电常数的虚部乘以后与电导率的作用相同。时谐场中，单位体积内传导电流损耗功率的平均值为

同理，电解质中单位体积及内由于介质极化滞后所引起的损耗功率平均值为

可见，单位体积中的介质极化损耗功率与成正比，确是表征了介质的损耗特性。位移电流对应这介质的极化损耗。

与电介质的情况类似，磁介质在高频下也表现出损耗和磁导率色散特性，因而其磁导率也是频率的复函数

由复坡印廷定理可知单位体积重磁损耗功率的时间平均值为，磁导率的虚部也是与磁损耗相对应的。相似地，媒质的电导率一般也是频率的复函数

但研究表明，金属导体的电导率在直到红外的整个射频范围内，均可看成实数切与频率无关，即。因为电介质和磁介质的损耗分别与成正比，通常采用比值

来表示的大小，称为「损耗角正切」。良好介质的损耗角正切一般在或以下。下图显示出介电常数随频率的一般变化关系

可见，在频率较低时，的虚部很小，可忽略不计，而实部近似于频率无关。但在高频区的谐振频率附近，随的变化甚为剧烈，此时很大，介质表现出具有强烈的吸收损耗。谐振频率的个数及大小由电介质中电子的固有振荡频率决定，也即由电介质本身决定。

在复介电常数情形下，Maxwell 方程组的第一式可写为

即把介质中的传导电流和位移电流用一个等效的位移电流代替，而将介质的电导率和介电常数的总效应用一个「等效复介电常数」

表示。这样，电导率变成等效复介电常数的虚数部分。采用等效复介质常数这一概念之后，可以把导体也视为一种等效的电介质，从而使包括导体在内的所有各向同性媒质采用同样的方法去研究。

当时，则视为「良导体」，当时，则视为「良介质」或「低损耗介质」，

4. 复坡印廷矢量与复坡印廷定理

在坡印廷矢量中，没有指定的和随时间变化的方式，若和是时谐场，并且用复量表示，则因是场矢量的二次函数，当用复数表示的场量或源函数来计算这些二次函数（如电磁能量，功率等）时，必须小心谨慎

对于频率为的时谐场，当场矢量用复数表示时，可表示为

利用式得

式中，右边第一项与无关，第二项是角频率为的简谐矢量。很明显，不能用来计算。取在一个简谐周期内的平均值为

可见后一项与时间有关的经过积分后等于零，剩下的正是式中与无关的分量。若定义

为「复坡印廷矢量」，则它的实部就表示功率流密度的时间平均值，虚部即为无功功率流密度。用类似的方法，可以得到能量密度和损耗功率密度的瞬时值表达式

上面各式中，右边第一项式对应量在一个周期内的时间平均值，第二项是交流分量。下面推导场量用复数表示是坡印廷定理的表达式。将复坡印廷矢量在任一封闭曲面上积分。利用散度定理

由于，以及

得到

即

这就是「复坡印廷定理」。下面来研究各项的物理意义。设内无外加电源，是电场引起的传导电流，且设为实常数，而，则

将以上各式代入即得

上式左边是通过界面进入体积的复功率，其实部表示通过进入体积中的平均功率，等于内媒质的焦耳热损耗，介质极化损耗和磁滞损耗功率的总和，其虚部表示进入内的无功功率，等于内平均磁能与平均电能之差的倍

如果中有外加电源，设以源电流表示，则

上式右边第二项为场对电源做的复功率。将上式代入得

上式左边为内电源输出功率的复功率和通过进入内的复功率之和。其实部为电源输出的平均功率与通过流入内的平均功率之和，等于内总的平均损耗功率，其虚部为流入内的无功功率和电源输出的无功功率之和，等于内平均磁能与电能之差的倍

五、电磁场的波动方程

在讨论 Maxwell 方程组时，我们曾经指出，一旦源电荷和电流在空间激发起电磁场，则由于电场和磁场相互激发形成电磁波，即使场源已不复存在，电磁场也可以脱离场源而独立存在，并以波动的形式向远处传播，下节的无源波动方程及其解就说明了这一现象。

现在我们来导出和的波动方程

1. 无源波动方程

假定媒质是线性，均匀各向同性的，其电磁参量均为常数。并设所讨论的区域内场源电荷和电流为零。但因，电场将在媒质中引起传导电流，此时 Maxwell 方程变为

对两边取旋度，并将代入，交换求旋度和偏导的顺序可得

应用矢量恒等式，并考虑到，则有

类似的可以导出

上式两式就是无源导电媒质中电场和磁场所满足的「波动方程」。如果在 Maxwell 方程组中忽略位移电流，即，对应准静态场情形，则中的第三项都将消失，此时所满足的不再是波动方程，而是「扩散方程」。这就更清楚地看出引入位移电流的重要意义和时变场与准静态场的基本区别。

如果媒质的，由可直接得到无源的非导电媒质中电磁场的波动方程为

在直角坐标系中，对于无源非导电媒质有的任一分量均满足标量波动方程

现在，我们来说明无源的非导电介质中电磁场的波动性。为了简化数学运算，但又不影响对电磁场波动性的揭示，我们来考虑一个简单的特例。

令或的任意直角坐标分量仅仅是和的函数，而与和无关，即，则可简化为

由数理方程可知，在无界空间里，上述方程的达朗贝尔解是

式中。现在我们来考察函数的物理意义。函数有两个自变量，一个是时间，另一个是距离，它们一起决定函数所描述的物理量的值。在固定时间，是的函数

设时，在处，为，则时，同样的值必将在处出现，这是因为

就是说，数值固定为的物理量，将在不同时刻将在不同空间位置重复出现。

同一物理量或物理现象在不同时空点上重复出现，称之为「波」或「波动」。由于上述的可以任意选取，例如可令连续增加，则该物理量所在点的坐标也连续增加，这就表明函数所描述的物理量以速度沿方向传播出去，从而构成一个波动。这里的波是电波和磁波，即「电磁波」

一般地，若使 $常数$ ，即要求 $常数$ ，因此有。这就表明，凡以为变量的函数，都表示一个以速度沿方向前进的行波，而以为变量的函数都表示一个以速度沿方向的行波。类似地，以为变量的函数表示一个沿方向的行波等等。例如

式中，此式就表示一个向方向传播的「简谐波」。电磁波的传播速度为

在真空中

真空中的电磁波的传播速度等于光速。是 Maxwell 首先获得的结果。他和其后的其他人以此作为光波是电磁波的有力证据。当然，后来有更多的证据支持这一论点。在今天，此结论已经是常识了。

对于时谐场，可由复数形式的 Maxwell 方程导出复数形式的拨通方程。例如，在非导电的无源媒质中，在一定频率下有，，则 Maxwell 复数形式表示为

应注意，在的稳态情况下，这组方程不是彼此独立的。对两边取散度可得。同样的，由可导出式。因此，在一定频率下，只有和是独立的。

取的旋度并将式代入可得

类似地有

上述两式就是和的复矢量波动方程。它们还可以写成

考虑到式和，上式变为

式中

式是和的「齐次亥姆霍兹方程」。注意，中包含了方程和，这只要对式取散度即可得到式，对取散度得到式。然而，式本身对和散度没有任何限制。因此，式的解，还需要满足散度为零的条件，而式的解，自动满足散度为零的条件。

2. 有源波动方程

如果在所讨论的区域中含有场源，则要求从给定的场源电荷和电流分布求它们产生的场。方法之一是与上节一样，由有源的 Maxwell 方程组导出只含或，再求解此方程。不难证明，当和不为零时，在非导电媒质中有

上式就是和的「有源波动方程」。注：式中的为场源电流。媒质不导电，所以没有场源电流。对于时谐场，并考虑到，式变为

上两式称为「非齐次的的亥姆霍兹方程」直接求解式和是不方便的。因此，通常不直接由场源电荷和电流来计算和，而是类似于静电场和静磁场的计算方法一样，引入辅助位函数，先由场源电荷和电流求位函数，再由位函数求电磁场和。电磁场的位函数在下节讨论

此外，在时谐场中，如果介质是有损耗的，即介电常数或磁导率为复数，则也相应地变为复数。对于的介质（导电介质），采用等效复介电常数来替代亥姆霍兹方程中的，亥姆霍兹方程的形式不变。需注意，总是在时谐场情况下来研究损耗介质中的电磁波传播问题。

或

研究电磁波的传播问题，例如在无界均匀媒质中（无论各向同性或异性），在不同媒质界面上的折射与反射，在导波系统中，以及电磁波的辐射等问题，都可归结为在给定的边界条件和初始条件下求解波动方程或亥姆霍兹方程。从此以后，我们将讨论的就是使用各种可能的方法，在各种条件下求解波动方程或亥姆霍兹方程

六、电磁场的位函数

1. 矢位和标位

当场源电荷和电流不为零时，Maxwell 方程组为

因为，故可以引入「矢量位 」，使得

将上式代入，可得

或者

根据上式，可以引入「标量位 」，使得

或

这样就定义了矢量位和标量位 。在定义和时已用了 Maxwell 方程组中的和的旋度方程。为了求得和与场源电荷和电流的关系，还要用到另外两个方程。将和代入的旋度方程可得

将代入，可得

式和中均含有和，可以利用位函数的任意性，来使上面两式去耦，以便于求解。

像静磁场一样，也是由的旋度来定义的，所以可以加上一个标量函数的梯度而不影响，即

而

但在后加上会改变，为使不因矢位的改变而改变，标量位应同时按下式变换

这时

由此可见，和在一定范围内是任意的。因此，我们可以任意选取的散度，例如，也可以像静磁场那样，取。但对时变场，常取

上式是为确定所取的辅助条件，称为「洛伦兹条件」。这样，可将去耦，简化为

若令，上式可写成

上式为和的有源波动方程，称为「达朗贝尔方程」。由此得到一组等价形式

这样，求解 Maxwell 方程就成为求解和的方程，即由求得和后，和由式和求得。

式和所示的变换为「规范变化」

当位函数作规范变换时，和保持不变，这种不变性称为「规范不变性」每一种辅助条件，即每一种的选择方法就对应一种规范。当为辅助条件时，称为「洛伦兹规范」

证明：总可以求的满足洛伦兹条件的一对位函数。

解：

设有满足式的，但不满足，即

其中

作规范变换，得到，并要求它们满足洛伦兹条件

即

可见，只要规范函数满足

则新的位函数和就可满足洛伦兹条件和波动方程式。如果进行规范变换，使变换前后的位函数均满足洛伦兹条件，则由可见，为下式的解

其解为

其中，表示传播方向的单位矢量。由这样的变换而得的所有位函数，均属于洛伦兹规范。可见，满足洛伦兹条件的位函数具有一定的任意性。

对于时谐场，达朗贝尔方程变为非齐次亥姆霍兹方程

洛伦兹条件变为

而电场和磁场由下式计算

可见，由于洛伦兹条件，而无须解式求，只需由求，再由求和。这是因为对时变场，场源电荷和电流不是彼此独立的，它们由电流连续性方程联系着。

2. 赫兹矢量

（和只要知道就好了，重点掌握）

由于矢位和标位不是彼此独立的，而是由洛伦兹条件联系着的，因而可以用一个辅助函数来求解电磁场问题。例如，取

称为「电赫兹矢量」。代入洛伦兹条件，得

由于只考虑时变场，在上式的推导过程中，由积分出现的常数项已舍去。

因为 Maxwell 方程中的两个源函数和也不是彼此独立的，而是由电流连续性方程联系着，故也可以用一个统一的源函数表示。令

然后代入连续性方程，得

由此可见，与极化强度具有相同的量纲。极化强度表示单位体积内的电矩，但在这里，仅是电流源的等效表示，而与介质极化无关，介质极化效应已包含在中。

当然，如果空间中存在极化介质而方程中均换，则矢量中应包含介质的极化强度，此时，应包含极化电流，应包含束缚电荷，即用真空中的极化电流和束缚电荷分布来代替极化介质。

将代入，或者将代入，可得满足的方程

由此式解出后，场量可由下式求得

对于时谐场有

当所研究的区域内不含有场源且不为导电媒质时，仍然能够利用位函数或电赫兹矢量来计算电磁场。此时均为零。对于时谐场，所有位函数所满足的方程均变成齐次亥姆霍兹方程

时变电磁场边值问题解的唯一性定理

Maxwell 方程或波动方程在一定的初始条件和边界条件下的解，表示电磁场在所给条件下的空间分布随时间的变化规律。

在所讨论的边界为的区域内，如果给定初始条件，如时内各点和的值，和边界条件，即时上的切向分量，则内满足 Maxwell 方程或波动方程的电磁场有唯一解。

对于稳态时谐场，唯一性定理可表述为：在界面所限定的区域内，如果给定内的场源分布和上的切向分量，则内的电磁场有唯一解。

在无源区域内的时谐电磁场则唯一地取决于上和的切向分量

例题

（大概率要考）

（难的题也就十分，其他的大部分上课都讲过类似的）

证明：在无源不导电介质填充的空间，时谐电场和磁场可用一个矢量来表示

并且满足方程

证明：

在无源，不导电媒质填充的空间，有

由可令，代入第一式，得

因此

从而可令

所以

代入第二式，得

代入第三式，得

所以有

由上式可知，和具有一定的任意性

所以可以任意选取的旋度。若取洛伦兹规范

则这时和的微分方程可简化为

对于时谐场情况，式分别变为

例题

一段理想导体构成的同轴线，内导体半径为，外导体半径为，长为，两端用理想导体板短路。一直在的介质区域内的时谐电磁场为

确定间的关系及的值
确定
求，面上的

解：由于同轴腔中无源，故有

将表达式代入可得

因此

从而

即

另一方面，在和的端面上有边界条件

所以，因此

在面上