恒定磁场

由恒定电流或永久磁体产生的不随时间变化的磁场叫做「恒定磁场」，也叫静磁场。恒定磁场对电流和运动着的带电体具有作用力。

恒定磁场的基本形式：无散度性和非保守性，即磁感应强度 满足

可见 与静电场中的电位移矢量 ，或电场强度 具有恰好相反的性质。由于静电场的保守性，我们引入了标量电位的概念 。相似的，根据静磁场的磁通连续性，可以引入矢量磁位的概念

此外，在无自由电荷空间，即 空间，还可以引入标量磁位 ，即

特别地，为了将静电场与静磁场中的位函数完全对应起来，还可以再静电场中引入矢量电位 的概念。当 时，有

静磁场的矢量磁位 如同标量电位 在静电场中占有的特殊地位那样，在静磁场中也是极其重要的

一、磁感应强度

在静电场中，为了说明问题的方便与概念的清晰，我们首先求出点电荷，面电荷及体电荷产生的电场，并继而得到高斯定理和闭合环路定义。在静磁场中，我们将采取同样的方法得到关于磁感应强度 的信息。为此，引入一个与静电场中点电荷对应的静磁场基本场源——「电流元」的概念。

在线电流情况下，电流 与线元 的乘积 构成了一个「线电流元」。

一个面上的电流则称为「面电流元」（Surface-Current Unit），表示为

其中 为面电流密度。

对应的，空间中的电流源称为「体电流元」（Volume-Current Unit），表示为

其中 为体电流密度。安培通过大量实验，得出真空中两个闭合线电流间由于闭合电流产生的恒定磁场引起的环路间的作用力，并进而得到由线电流 产生的「磁感应强度」 的表达式

式中

  • 产生磁感应强度的源——线电流元
  • ：源点到场点的距离矢量（从源点指向场点）
  • ：源点到场点的单位距离矢量
  • ：真空磁导率，为 ，单位为
  • ：电流源 在场点 处产生的磁感应强度矢量，单位为

由 可知， 与 所决定的平面垂直，三者之间存在右手螺旋关系，从 沿小于 的角转到 时，螺旋前进的方向就是 的方向。磁感应强度 的单位为特斯拉（），此外，还用到 和 这两个单位。且

将 和 代入 式就得到面电流元和体电流元在场点 处产生的磁感应强度 。面电流时为

体电流元时为

实际上，真正意义上的线电流元 并不存在，因为通过恒定电流 的导体必须是闭合的。这样，可求出闭合线电流回路 在场点 处产生的 为

同理，对 式在曲面 上进行面积分就得到曲面 上电流产生的总场为

以及体积 中的电流产生的总场

利用上三式，原则上可以计算出任何给定电流分布时的磁场。这称为「毕奥-萨法尔定律」

磁力线方程：，其中 为磁力线上的线元

例题

求通过电流 的细圆环（半径为 ）在轴线上的磁场。选取圆柱坐标系，可尽量简化计算。电流元为

由电流源分布的对称性可知，轴线上任意点的磁场只有轴向分量

利用上述公式，可以计算多层密绕螺线管中心轴线上任意点处的磁感应强度

式中， 为每匝通过的电流， 为每层单位长度对应的匝数， 为单位层厚度上的层数， 为螺线管的长度， 为螺线管的内半径， 为螺线管的外半径， 为中心轴线上的点距离螺线管右端面的距离。当 ，即场点位于螺线管中点时，场强为

对于单层密绕螺线管，即 时，螺线管中心轴线上任意点的磁感应强度为

式中， 为每匝通过的电流， 为单层螺线管单位长度对应的匝数， 为螺线管的长度， 为单层螺线管的半径， 为中心轴线上的点距离螺线管右端面的距离。当 ，即场点位于螺线管中点时，场强为

二、恒定磁场对运动电荷的作用力

磁场对运动电荷的作用力包括两个方面的内容：

  • 磁场对传导电流的作用力——安培力
  • 磁场对以速度 运动着的空间电荷 的作用力——洛伦兹力

下面分别讨论之

1. 磁场对传导电流的作用力

假设空间中已存在磁场分布 （不论是由闭合电流回路或面电流、体电流或者它们的组合产生的），则该空间中一个线电流元 受到的该磁场的作用力为

这样的作用力称为「安培力」(Ampere Force)。式中各量单位均采用国际单位制，且三者满足右手螺旋法则。同理，空间中一个面电流源 受到的磁场力为

以及体电流元 受到的磁场力为

如果上述各种电流元分别是组成闭合电流回路 ，面电流以及体电流的单元，则整个电流回路或面电流，体电流受到的安培力分别可以表示为

注意，在上述三式中，均是对场点进行积分。而在 三式中，均是对源点坐标进行积分的，这一点应特别明确，不得混淆。特别地，对于线电流情形（场、源分别为闭合电流 ，环路分别为 ，则 式变为

上式中的被积函数可以理解为场源 对场点处的电流元 的作用力为

同理， 对 的作用力为

即两电流元之间的作用力不一定满足牛顿第三定律。两个电流元的“相互作用”是否满足牛三？这个问题也可以表述为，两个电流元是否满足动量守恒？根据动量守恒定律，两个电流元和它们之间的电磁场作为一个整体总是满足动量守恒。两个电流元的“相互作用”是通过电磁场传递的，考虑到电磁场也有动量，而且电流元激发的电磁场不是恒定磁场，因此两个电流元的总动量并不总是守恒，从而把握住它们的“相互作用”并不总是满足牛三。

但两个电流回路之间的相互作用力满足

2. 电磁场对运动电荷 的作用力

把以速度 运动着的电荷 看成是组成体电流的全部，这样，在 式中，由于有

所以此时磁场对电荷 的作用力为

当空间还存在电场 时，运动电荷 还受到电场力，因此空间电荷 受到的总力为

称运动电荷在电磁场中受到的这样的电磁力的总力为「洛伦兹力」(Lorentz Force)。

三、恒定磁场的基本方程

与静电场的基本方程相似，在静磁场中我们也讨论 对任意闭合面的面积分 和任意闭合回路的线积分 所具有的性质。即从 的散度和旋度两方面考察静磁场。首先定义「磁通」为磁感应强度 穿过曲面 的通量，即

单位为韦伯（）。设电流为 的闭合回路 在空间产生的磁场为 ，则 穿过一个任取的闭合曲面 的通量为

交换积分次序得

由

由矢量恒等式

因此得到结论

由于高斯定理

以及闭合面 为任取的，从而体积 也是任意的，所以有

式所表示的关系作为静磁场的两个基本方程中的一个，表明静磁场是无散场。亦即 的通量总是连续的，说明从闭合面 的一侧穿进的 ，总有等量的 从闭合面 的另一侧穿出，即磁感应线总是闭合的曲线。磁力线方程为

下面计算 沿闭合回路的线积分。此处为了计算方便，我们采取先求 的旋度所满足的微分方程，然后利用 Stokes 定理得到 的闭合线积分所满足的关系。当求解 时，由于必须在 连续的区域才能进行微分运算，为此选定由体电流密度 在场点 处产生的磁场 为研究对象。根据 式，可以写出此时的磁感应强度为

注意，此式中， 表示场点矢径， 表示源点矢径。式中体积分是对源点坐标进行的， 是体电流所分布的区域（场源区域）。由于

由矢量恒等式 因此

所以 式可写成

记中括号中的矢量为 ，则得到

对上式两边取旋度，并利用恒等式 得到

利用矢量恒等式 ，则有

静磁场是由恒定电流产生的，而恒定电流场又满足 因此有

以及

因此

由于 ，则因此得到

为了得到上式所对应的积分形式，可以在该磁场区域内任意取一个曲面 ，其周界为闭合曲线 ，并运用 Stokes 定理，得

即

其中 就是静磁场的另一个基本方程，称为「安培环路定律」。 的旋度不为零，表明磁场存在漩涡源 ，即磁场不是保守场，在一般情况下， 不能用一个标量函数（标量位）的梯度来表示。

注意，在 式中， 表示穿过曲面 的电流的代数和，包括传导电流、运流电流和束缚电流。且电流的正方向与曲面 的周界 的绕行方向之间存在右手螺旋关系。这样。我们就得到了真空中恒定磁场所满足的基本方程。其中微分形式为

积分形式为

在某些特殊电流分布情况下，例如 或 呈某种对称性时，可以用安培环路定律的积分形式直接求解磁场，而不需要使用诸如 式来求解

四、矢量磁位与标量磁位

在上一节证明安培环路定律的时候，我们曾利用矢量恒等式得到了在体电流密度 分布时，场点处的磁感应强度 的另一个表达式

由上可知， 可以用一个矢量函数的旋度来表示。因此定义矢量位函数 ，使得

则称 为「矢量磁位」，且有

的单位为特斯拉·米或韦伯·米。它是一个没有物理意义的辅助矢量，其作用如同静电场中引入电位一样。在磁场中引入矢量磁位，可以使磁场问题的计算得到简化。通过比较静电场和静磁场的方程，可以清楚地看到 与 的相似之处。

由上述对比可以看到， 对静磁场所起的作用，与 对静电场的作用相似。因为我们是从 定义矢量磁位 的，而由亥姆霍兹定理可知，要完全确定矢量场 还必须知道它的散度 ，但是 的散度却具有任意性。因为如果在 上加上一个任意标量函数 的梯度，是不会影响 的，即

所以给定 后， 可以按下式自由变换

在静磁场中常取 ，即要求 ，这种规范称为「库仑规范」。根据体电流分布时 的表达式

可以写出对于面电流和线电流分布时，矢量磁位 的表达式。面电流为

线电流为

对应可以知道，三种电流元产生的矢量磁位可以由如下三式计算

可见，电流元的矢量磁位 总是与该电流元平行的。将 代入安培环路定律的微分表达式 中，得

由于库仑规范 ，则有

对于无源区域，即 时，有


上述两式分别称为「矢量磁位的泊松方程与拉氏方程」。在直角坐标系中，上式可写成分量的形式

即 的每个直角坐标分量 都满足标性泊松方程，该方程的解形为

在其他坐标系中不能这么处理，必须按照 展开并代入 才能得到 的偏微分方程表达式

可见，给定电流分布后，就可利用 式或 式或 式求得 ，再由 即可求得 。这样做，常常比直接由 计算积分要容易一些。此外，还可以利用 直接计算 通过任意闭合曲面的磁通量。

其中 是曲面 的周界。 的单位为特斯拉·米。接下来推导标量磁位 。在第三节中，我们得到了安培环路定律的微分形式

上式表明， 不是保守场。在一般情况下， 不能用一个标量函数的梯度来表示。但是，在电流为零的区域，却有

所以在电流分布为零的区域， 可以用一个标量函数的梯度表示，即

式中， 称为「标量磁位」。将上式代入 中，得

所以，标量磁位 满足 Laplace 方程，且是一个多值函数。下面以线电流回路所产生的磁场来证明多值函数这一结论。线电流回路产生的磁感应强度为

利用矢量恒等式得到

再根据

利用 ，则有

式中， 是电流回路 所围成的曲面 对场点所张的立体角，且

因此

即

其中 为常数。可见 是一个多值函数。由于对无限远点 ，并且令无限远处 ，则有 ，即

这就是当选取无穷远处 时，电流环路产生的「标量磁位」。 主要用来处理磁化物质，特别是永磁材料的磁场。

五、磁偶极子

上一节中推出的 式表示电流回路 在场点产生的磁感应强度为

式中 是电流回路 所围成的曲面 。对围成的曲面 用网线分成许多面元 ，把每个面元的周界想象成具有电流 的小回路

相邻的小回路在它们的公共边上的电流是反向的，所以小回路的电流互相抵消，只有最外面的小回路的外缘上的电流不被抵消，它们合成起来就是整个电流回路 的电流。因此 式表示的就是所有这些小回路电流在场点处产生的磁感应强度的矢量和。自然地，其中任一小回路电流在场点产生的 为

其中， 是小电流回路（电流环）对场点所张的立体角。可见，电流回路的形状不同时，只要面积对场点所张的立体角相同，则在同一点处产生的 是相同的。进而， 相同，我们可以任意假定电流回路的形状，而不会对磁场分布产生影响。为此，定义

为任意形状的电流回路的「磁偶极矩」或磁矩，单位为 。对于平面小电流环，其磁矩为 ，这样的小电流环，称为「磁偶极子」。可见，磁偶极子的磁矩的方向与面积矢量的方向一致。

由 式可以写出磁偶极子在远区场点，即距离 电流环半径 时， 的 为

在球坐标系中展开

上式就是磁偶极子在远区产生的磁感应强度表达式，它与静电场中电偶极子在远区产生的电场强度的表达式极为相似。注意，上式表示的是远区场，在电流回路附近的场与该式有很大区别，即近区 线穿过电流环而闭合。而在远区处的标量磁位为

为了求出磁偶极子在远区场点的矢量磁位 ，可以利用 中的 式

在远区场点，即 ，有

因此

利用 ，有

更换积分变量为

利用矢量恒等式 得到

因此原式化为

由于 ，因此上式化为

这样，就得到了任意形状的小电流环或磁偶极子在远区场点处产生的矢量磁位 为

可以利用 式，先求出电流环对场点所张的立体角 ，再求出 ， 和

例题

用式 计算半径为 ，电流为 的细圆环周线上的磁场。

解：

以场点为球心， 为半径作一球面，圆形电流回路在球面上截出的球冠面积为

因此

也可以直接用公式计算，其中 为球冠

利用 得到

此式，当 时，，所以

所以，圆环中心轴线上任意一点处的 。可将中心轴线作为矢量磁位的参考点

六、介质的磁化及磁介质中的场方程

前面几节讨论的是真空中的磁场，并未考虑载电流的导体以及周围其他媒质对磁场的影响。实际上，除了真空以外，其他物质在磁场中都会出现磁化现象，介质中要出现磁偶极矩，磁偶极矩产生的磁场叠加于原来的磁场之上，从而使磁场发生变化。

物质的磁性来源于构成物质的分子中电子的运动（绕核运动及自旋，主要是后者），可以用磁偶极矩来表征运动电子的磁特性。分子中所有电子磁矩的综合称为「分子固有磁矩」，对应的电流称为「分子电流」。

在没有外界磁场时，由于分子固有磁矩的随机取向，所以物质不显出磁性。而在外加磁场作用下，有些物质中随机取向的分子磁矩受到一力矩，使分子磁矩沿 取向，其中一部分被分子热运动抵消，剩余的部分使得在 的方向上有一个净的平均磁矩 ，这类物质称为「顺磁物质」。

另外一些物质的分子磁矩平时为零，但在外加磁场的作用下产生一感应磁偶极矩，它与外加磁场 反向，这类物质称为「抗磁性物质」。此外还有一类所谓「铁磁性物质」，其磁化机理更为复杂。

不管是哪类物质，在外加磁场作用下都会被磁化，而磁化物质可看成是按一定方向排列的许多磁偶极子在真空中的集合，这些磁偶极子也要产生磁场。这样，空间中每一点处的场都是外加磁场与分子磁矩产生的场的总和。为此，定义「磁化强度」来描述物质被磁化的程度：

式中， 是磁化物质中点 处的体积元， 是 中平均分子磁矩的总和。因此 是点 处单位体积中的分子磁矩，称为「磁矩体密度」

根据安培提出的分子电流模型，产生分子固有磁矩的分子电流被称为「束缚电流」，介质中分子电流合成起来可能在介质内和介质表面形成净的束缚电流（宏观电流）。我们可以把介质中全部分子偶极矩产生的场用介质体积内和表面上净束缚电流产生的场来等效，这样就可以利用真空中场与电流的关系来讨论磁化介质中的场了。

在所讨论空间的任取一个积分回路，回路穿过介质时将与分子电流相交连。由于回路 与分子电流相交连，所以安培环路定律为

式中， 是与积分回路相交连的自由电流的总和， 是与积分回路相交连的分子电流的总和。根据磁化强度的定义，以及分子电流与回路的连接关系有

代入 得

令

代入上式得到

运用 Stokes 定理，可以得到上式的微分形式

注意， 中 分别是介质中自由电流的强度和密度。这两个式子就是「磁介质中的安培环路定律」

由 式定义的矢量 称为「磁场强度」，单位为 ，此外，工程中还使用奥斯特作为单位。理论和实验均表明，对于顺磁和抗磁物质，存在以下线性关系

其中 称为「磁化率」，是无量纲的常数； 为「相对磁导率」。

  • 对于铁磁物质， 与 不成线性关系，但仍可用 来表示，只是 不为常数而已，即 变化时， 变化，从而 也变化。
  • 的物质称为「非磁性物质」

这样，我们就得到了磁化介质中的场方程。积分形式为

微分形式为

介质本构关系可以表示为

位函数为

在 的区域有

以及

七、磁介质分界面处的边界条件

由于介质磁化后，其表面上一般存在着束缚电流，所以不同磁介质分界面处的场就变为不连续的。可以用场的积分形式导出分界面处场的边界条件。

1. 法向分量的边界条件

在分界面上取一小的柱形表面，两底面分别位于分界面两侧，柱面高 。由磁通连续性，得

即

或

即分界面处 的法向分量连续

2. 切向分量的边界条件

在分界面处取一小的矩形回路，两个边 分别位于边界面两侧，高 ，由环路定律得

其中 为界面上的自由电流密度，其正方向与环路方向呈右手螺旋关系

或用矢量形式来表示

即：分界面处由于存在自由电流面密度，而使 的切向分量发生突变。当 时， 的切向分量变为连续的，即

矢量形式为

利用 ，使 除以 式，得到 时折射角的关系为

当分界面上没有自由电流，即 ，但有束缚面电流时，即，由于

得到

即

由于本构关系

以及由于分界面上无自由面电流，因此有

代入 得

当分界面上有面电流时，仍为

的方向由右手螺旋定律得到。对于空气和介质的分界面，面束缚电流为 ，其中介质 1 为空气 ，介质 2 的磁化强度为 。利用上一章推导环路定律时得到的关系

由于 ，因此

因此


这就是介质中体束缚电流的表达式。在恒定磁场中，位函数 所表示的分界面边界条件，法向分量为

切向分量为

若在柱坐标系则可表示为

用标量磁位函数表示的边界条件，法向为

切向为

可以由 即 来证明。其中，矢量磁位法向边界边界条件 证明如下：

任选一闭合面，其下表面 位于介质 2 中，上表面 位于介质 1 中，其公共周界为闭合曲线

利用 Stokes 定理

所以得到

例题

计算绕有均匀 匝线圈的磁环（）轴线上的磁场

解题要点：

  • 在题给条件 时，环内场量是均匀的，且等于环轴线上的场
  • 切开一个很小的开口中的 等于铁芯环中的 ，但两者的 不同。
  • 使用磁介质中的安培环路定理之积分公式计算

由于

因此

从而有

当磁环切开一个小口，宽度为 时，所张的角度为 ，设开口区域和磁环中的场分别为 和 ， 和 。则由磁介质中的环路定理得

由于分界面处 的法向分量连续，即

则

因此

八、法拉第电磁感应定律

前面几节中未涉及磁场能量等问题。但是要导出计算恒定磁场的能量公式，必须先考虑随时间变化的电流的电磁效应，即法拉第电磁感应定律所表明的内容。

法拉第定律表明，随时间变化的磁场将感应出电场，这是普遍实用的规律。在磁场随时间变化很缓慢时，就可导出在低频电路中广泛使用的「电感」这一概念，即这时假定导体回路中同一时刻处处电流相同，这是定义回路电感的基础。当磁场及电场迅速变化时，情况将有所区别（分布参数电路）

法拉第电磁感应定律：如果在磁场中有导线构成的闭合回路 ，当穿过由 所围成的曲面 的磁通发生变化时，回路中就要产生感应电动势，从而引起感应电流。感应电动势等于回路磁通时变率的负值

式中， 表示穿过曲面 与 交联的磁通。 的实际方向可由楞次定律说明，即感应电动势总是力图阻止回路中磁通的变化，或由感应电流产生的磁场的磁通量总是阻止原来原来磁场的磁通量变化的。

实际上，上式中 应该是所谓「全磁通」，或称「磁链」。例如一个回路是由 匝导线绕成的，则磁链等于各匝的磁通之和。当通过每匝的磁通都相同时，则

在恒定电场中，曾定义非保守场强沿闭合回路的线积分为电动势，因此，回路 中由于磁链的变化而感应出的电动势 为「非保守感应电场」 沿回路的积分，即

所以， 可以写成

如果空间同时还存在由电荷产生的保守电场 时，则总电场 为

但是注意

所以 可进一步写成

即

其中， 为 所限定的任意曲面，

注意， 式已经将电场矢量 和磁场矢量 联系起来了。由于在表示电磁感应定律的各个公式中，没有要求回路本身的特性，因此可将上式中 看成是任意闭合路径，而不一定是导电回路。这样理解后， 式所表示的就是推广的法拉第电磁感应定律。

与回路 交联的磁通的变化，可由以下几种情况引起。

  1. 随时间变换，即
  2. 回路运动，即
  3. 以上两者的结合。

尽管原因不同，但产生感应电动势的效果是相同的，下面分而叙之。

1. 磁场变化

当回路静止， 随时间变化时， 改写为

应用 Stokes 定理，得

因为上式对任意的 均成立，故有

2. 回路变化

当回路 在时变磁场 中以速度 运动时（），即不考虑相对论效应。根据推导可得，这时在回路中产生的感应电动势为

式中 为回路 所围成的曲面。上式表明，运动回路中的感应电动势由两部分组成，由 随时间变化引起的电动势称为「感生电动势」，回路运动引起的电动势称为「动生电动势」。如果将感应电动势写成电场强度 沿运动回路的线积分，则 是与回路一起运动的观察者所看到的场，即

或写成

上式左边括号中的量是静止的观察者所看到的电场强度 ，即

为了说明这一点，可考虑回路 中的一个点电荷 所受的力。对静止的观察者来说，他看到 在电场 ，磁场 中以 中运动，因此 受的力为

对随回路一起运动的观察者（运动坐标系）来说， 是静止的，处于电场 中，因此此时 受力为 。对于惯性系，由于 ，因此

即

所以， 可写成

或用 Stokes 定理改写为

可见， 式与 式形式完全相同，统一于静止坐标系中，称为法拉第电磁感应定律的微分形式。

由此可知，随时间变化的磁场产生有旋电场。因此，电场的源有两种：电荷（散度源）和变化的磁场（漩涡源）。前者产生保守场，后则产生非保守场。可见，变化的磁场是与电场密不可分的，这构成了电磁场 Maxwell 方程组的一个方程。

九、电感

1. 电感的定义

在线性介质中，一个电流回路（一匝或 匝）在空间任意处产生的 是与电流成正比的，因而穿过任意固定回路（一匝或 匝）的磁链 也是与电流成正比的，由此定义互感与自感。

如果第一个回路 中的电流 产生的磁场与第二个回路 相交连的磁链为 ，则回路 对回路 的「互感」为

同理可定义出回路 对回路 的互感为

当磁场是由回路本身的电流产生的，与回路相交连的磁链与电流的比值称为「自感」

互感与自感的单位相同，均为亨利 。它们都仅取决于回路的形状、尺寸、匝数和介质的磁导率及回路间的相互位置。当回路固定不变时，自感与互感都是与电流无关的常数。

两回路的互感计算。设两个回路都只有一匝，则回路 中的电流 在回路 处产生的磁通为

其中， 和 分别为 在 和 处的磁感应强度的矢量磁位，且有

得到磁通量为

所以互感 为

同理可以求出

因此有

也就是说互感具有互易性。上式也称为「纽曼公式」。互感 可以为正，也可以为负，取决于对回路电流正方向的选取。在已经选定了电流 和 的正方向后，如果 （或 ）在 （或 ）中产生的磁通为正，则 ，反之则 。

因此当回路 的电流 发生变化时，在回路中 中的感应电动势 为

同理

纽曼公式提供了计算回路互感的一般方法，但实际应用此式时，常导致复杂的积分。当根据电流分布可求得磁场 并进而得到 时，用互感的定义是 求解较为方便。对于复杂回路，常用经验公式来计算互感或自感，或由实验测定。

回路外自感的计算仍然可以用 式计算，只是此时 在同一回路上，即

由于自感磁通总是与电流呈右旋关系，所以 总是正值。实际上，并不能直接使用上式计算自感 ，因为当 与 重合时，，积分发散。从物理上看，这是由于导线附近 ，因此 ，从而得到无限大的磁通。

所以对于实际电路，应作为分布电流处。但是当回路的横截面很小时却可以直接用 式计算其外自感（导线外部的电感），即将导线中的电流集中于轴线 上，求导线内边缘 上交连的磁通，从而求得自感。也即，将外自感看成是回路 与 间的互感。当电流分布较特殊时，可由 从而得到 。如何求 匝细磁环线圈的外自感？

当 且不考虑漏磁时，即 时

所以，外自感为

当不满足 ，或线圈不是均匀密绕时，可用 LC 谐振电路来测量外自感 。改变 的频率，当 的幅度达到最大时的激励信号频率为 ，则线圈的自感为

2. 导线内自感的计算

设回路尺寸远大于导线横截面尺寸，切横截面为圆形，则导线内不得磁场可近似用无限长圆柱内部的场表示，则

穿过图中宽为 ，长为 的截面的磁通为

这一磁通与电流 相交连，即磁链为

因此

所以长度 ，半径 的一段导线内的内自感为

内自感可以用磁场能量来计算

3. 用电感求感应电动势的方法

个回路，电流分别为 ，其中任一回路 中的总磁通为

其中，第一项为回路 的自感磁通，第二项为其他回路 在回路 中互感磁通的总和。这样，回路 中的感应电动势为

这一公式可用来计算回路系统的磁场能量。

十、磁场能量

设有 个线电流回路。在各回路电流由初始值零增加到稳定值的暂态过程中，与这些电流相联系的磁场也随时间变化，从而在各回路中产生感应电动势。所以建立电流回路系统时，电源要克服感应电动势做功，供给电流回路系统能量，此能量就是磁场能量，储存于磁场中。当然在建立并维持恒定电流时，电源供给的能量有一部分变成热损耗，是不可逆的，这里暂不考虑它，认为没有热损耗此外，认为回路不运动、不变形、无须计及机械功。这样，电源所做的功全部转化为磁场能量。

在暂态时间的某一时刻 ，空间中其他回路的电流变化在回路 中产生的的感应电动势为

而回路 中的电源为克服此电动势而提供的瞬时功率为

所以系统中各电源供给的总瞬时功率为

所以建立起稳定的电流回路系统的过程中，电源做的功为

其中 为系统暂态过程所经历的时间。由于电源做功只取决于稳定状态，而与达到稳定状态的方式无关，因此可以认为 ，其中 是回路 中的稳态电流， 是与下标 无关的时间函数，且

这样，电源供给的总功即磁场能量 为

即

由于穿过回路 的总磁通为

所以

式中， 是所有 个回路的电流在 上产生的总矢量磁位。例如，当 时，有

当 时，则有

以上讨论的是线电流回路的磁场能量。对于体电流情形，因为 ，代入 式，得

对于面电流情形，因为 。因此

其中的体积分、面积分是对所有 的区域进行的。当然，我们可以把积分区域扩大到整个空间而不影响积分的值。 式是求磁场能量最一般的形式。在该式中代入 ，则

式中，当 ，则有 ，且是面积的高阶无穷小，所以面积分项为零。

式中，积分是对整个 的空间进行的。上式用场量 和 表示的磁能，其中被积函数具有磁场能量密度的含义。将其记为 ，则有

即磁场能量是以体密度 存储在整个磁场中的。由单个回路的磁能表达式 可知，若能用其他方法先求出磁能，则自感 可表示为

此式可用来计算回路的内自感、外自感、总自感。例如，可以重新计算求上节长为 的导线的内自感

求得

十一、磁场力

电流回路间的作用力，可由安培力定律直接计算，但积分往往很困难。在某些情况下，可用虚位移法方便地求出磁场力。在求固定电流回路系统中某一回路所受的磁场力时，可设想它在磁场力 作用下有一虚假位移 ，因而磁场力做功为 ，同时，磁场能量发生变化，设其增量为 。

电流回路的位移，可在维持各回路电流不变的条件下发生，也可在各回路交链磁通不变的条件下发生。下面分别由这两种条件导出磁场力的计算公式。电流不变时，设电流回路中有一回路 ，在 时间发生位移 ，使得它与其余各回路的相对位置发生变化，从而使所有回路交连的磁通改变，并在各回路中感生出电动势 。为了保持回路中的电流不变，需要电源克服感应电动势做功

则整个系统中电源做功为

而磁场能量的变化量为

由能量守恒可知

因此得到

得到

或写成

例如，当系统中只有两个回路时

磁链不变时，此时各回路中的感应电动势为零，电源不做功。磁场力做功使回路发生位移，来自于磁场能量的减少，磁场能量转化为机械功，即

或写成

由于回路所受的磁场力是单值的，因此按上述两种条件算出出的结果应当相同。例如对两个回路组成的系统有

因此

将 和 的表达式代入，并计算 和 后，得到

这与保持电流不变时求得的结果相同。用第十章中的 式求出系统的磁能后，再应用 式，可以求出分布电流或非电流回路系统的磁场力。

例题

例 1

例 2

例 3

例4

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Table Of Contents
恒定磁场
一、磁感应强度
例题
二、恒定磁场对运动电荷的作用力
1. 磁场对传导电流的作用力
  1. 电磁场对运动电荷 的作用力
三、恒定磁场的基本方程
四、矢量磁位与标量磁位
五、磁偶极子
例题
六、介质的磁化及磁介质中的场方程
七、磁介质分界面处的边界条件
1. 法向分量的边界条件
2. 切向分量的边界条件
例题
八、法拉第电磁感应定律
1. 磁场变化
2. 回路变化
九、电感
1. 电感的定义
2. 导线内自感的计算
3. 用电感求感应电动势的方法
十、磁场能量
十一、磁场力
例题
例 1
例 2
例 3
例4