常系数线性微分方程

常系数齐次线性微分方程

解会是什么？只有指数函数具有这样的性质！

所以可以假设解是指数函数

$设是上述方程的解，则$

称此方程为原方程的特征方程

$若，则有相异实根对应微分方程的解$

$且不恒等$

$故通解$

这两个解构成一对基，张成了一个二维解空间

$若，则有相同实根（二重实根）$

为求微分方程另一个与线性无关的特解

$设（待定）$

代入原方程

$注意到$

$为简单起见取，得$

$为什么这里可以简单起见？因为只需要满足，而对的具体形式没有要求$

$通解$

$若，特征方程有共轭的复根$

$，$

$由公式，以及解的结构$

为简化结构做一个代换

$依然是解，且线性无关$

例题

例1.1

解：

$故$

例1.2

解：

$故$

例1.3

例2

$已知特征方程有根，建立相应的二阶常系数线性微分方程$

解：

$特征方程为$

$故为所求$

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常系数线性微分方程

常系数齐次线性微分方程