n 维向量的定义

行向量

只有一行的矩阵

列向量

只有一列的矩阵

除非特别说明，所有向量都指列向量

n 维向量的线性运算

定义

向量的运算实际上是矩阵运算的特殊情形

$设$

向量的加法与数乘统称为向量的线性运算

性质

向量组的线性相关性

定义

$设是个维向量，是个数，则形如下式的和$

$称为向量的线性组合$

$对于向量，若存在常数，使得$

$则称是向量的线性组合，或称可由向量的线性表示$

注：n 维零向量可以由任意一组n维向量线性表达出！

n 维零向量的表达

$称为平凡表达$

$称为非平凡表达$

注

$设是矩阵，是任意一个维向量，则是一个维向量，它是的列向量的线性组合，即$

线性相关性

定义

$设是一组维向量。存在一组不全为的数使得$

$则称向量组线性相关$

$为什么关注零向量的被表达情况？因为如果一个向量组只能给出平凡表达，那就说明零向量只能有唯一的表达$

几何解释

$考虑的两个向量与$

$如果与线性相关，即$

$即与共线$

注

定理1

$中的个维基本向量组成的向量组是线性无关的$

定理2

$向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合$

定理3

$设向量组线性相关，但线性无关，则向量可以由唯一的线性表达$

证明

$设不全为的数使得$

性质

性质1

$含有零向量的向量组是线性相关的由一个向量组成的向量组线性无关的充要条件是$

性质2

如果向量组中的一个部分是线性相关的，那这个向量组也必然线性相关。如果一个向量组线性无关，那么它的任何一个子集也是线性无关的

等价向量组

定义

$如果向量组中的每个向量都可以有向量组线性表出，则称向量组可由向量组线性表出。$

$如果向量组和可以互相线性表出，则称两个向量组与等价$

等价的矩阵表示

定义

则称向量组等价

性质

反身性

对称性
传递性

例题

例1

$在中，向量组与（其中是异于的任何一个向量）等价$

解：

定理

多的被少的表达

$如果可由线性表出，且，则线性相关$

推论

$如果向量组可由向量组线性表出且线性无关，则$

$两个各自线性无关的向量组如果等价，那它们含的向量的个数一样多$

向量组的极大线性无关组

定义

$设是一个向量组，是的一个子集，如果$

$线性无关$

$中的每个向量都可以由线性表出，则称是的一个极大线性无关组$

性质

等价性：

$向量组与等价$

类比单位向量能表示所有平面上的点

“极大性”

$在中若任意再加入中的一个其他向量（如果有的话），得到的新的向量组线性相关$

不唯一性

$极大线性无关有时并不唯一，但彼此等价。$

秩

$给定一个向量组，它的任何两个极大线性无关组都是等价的从而含的向量一样多$

定义

$一个向量组的任何一个极大线性无关组所含的向量的个数称为向量组的秩$

定理

$等价的向量组的秩相等$

证明

$设，$

定理2

$在中，任意个向量都是线性相关的$

证明

反证法

$若存在个向量线性无关$

$因为能用个表出，再结合少的表出多的，因此这个向量必然线性相关，矛盾$

与矩阵的关系

将向量组斜横矩阵的形式，得到

定理1

对矩阵A实施行初等变换，不会改变A的列向量组的线性相关性和线性组合关系

证明

$若线性相关也相关$

组合性

定理2

矩阵A的秩等于A的列向量矩阵的秩

推论

$设是矩阵，若，则$

$当时，的行向量组线性无关而当时，的行向量组线性相关$

$当时，的列向量组线性无关而当时，的列向量组线性相关$

$当，即为方阵时的列（行）向量组线性无关的充要条件是，（意味着满秩）$

向量空间

定义

$设是维向量构成的非空集合，且对向量的线性运算封闭，即$

$，是一个常数，则$

$则称向量几何是向量空间。如果向量是实向量，则称是实向量空间如果向量是复向量，则称是复向量空间$

子空间

定义

$设，都是向量空间，如果，则称是的子空间$

span

$设是一个向量空间，是中的向量，由的一切线性组合所组成的集合称为生成的向量空间$

基和维数

定义

$设是向量空间，若向量组满足线性无关中任意向量都可以由线性表出则称是向量空间的基$

$基中含有的元素是一定的我们称基中含的向量个数为的维数，记为也称为维向量空间$

向量空间V的基实际上是V作为向量集合时的极大线性无关组

注

1.

$若是的基，则$

2.

$反之，如果线性无关，则是空间$

$的一组基$

3，

$，而$

4,

$如果是的子空间，则$

5.

$一个空间的基并不唯一$

定理

$如果向量空间的维数则中任意个线性无关的向量都是的基$

定理

$设是某个向量空间的元素，则向量组的任意一个极大线性无关组都是空间$

$的一组基$

坐标

定义

$设是的一组基。任取一个向量，则可唯一的表达成$

基变换

$设是一个维的向量空间，它由两组基$

$则向量组与等价$

$如果有矩阵使得$