二次型及其矩阵表示

讨论的问题：

使用正交变换把二次型化为标准型
二次型的正定性

定义

$关于个未知量的二次齐次多项式$

举例

$的系数怎么办？规定：平均分配，成为对称矩阵$

$若是对称矩阵，则称为二次型的矩阵表示$

例题

例1:求二次型的矩阵表示

解：

若二次型只有平方项，则为对角矩阵

想办法把普通的二次型化为只有平方项，即转换为对角矩阵

线性变换

定义

$设是两组变量，关系式$

$称为到的一个线性变换$

如果系数矩阵式可逆矩阵，则称该线性变换是可逆的或非退化的

非退化的线性变换的变换也是非退化的线性变换

二次型的标准形

只含有平方项的

$如果二次型$

经过非退化的线性变换X=PY变成平方和

$则称上式为二次型的标准形或法式$

进一步地，如果能化为

则称它为二次型的规范型

规范形对应于

定理

$任何一个二次型都可以经过非退化的线性变换化为标准形。如果在实数或复数域内考虑，可进一步地化成规范形$

$对于任意的对称矩阵，存在一个可逆矩阵，使得$

合同

$对于阶矩阵，，如果存在一个阶可逆矩阵使得，则称和合同$

性质

如果合同秩相等

相似和合同没有必然联系，如

合 同 于

实际上

正交变换法

化二次型为标准形的常见方法

定义

$设是一个阶实矩阵，如果$

则称C为正交矩阵

性质

行列式为正负一

转置等于逆矩阵

转置仍正交

逆仍然正交

乘积仍然正交

充要条件是行or列向量组是标准正交的向量组

$矩阵是正交矩阵$

为 对 角 矩 阵 ， 直 接 把 对 角 元 素 乘 起 来

正交变换

$设是一个阶正交矩阵，则称线性变换是上的正交变换$

正交变换是非退化的线性变换，有如下性质

定理

$设是上的线性变换，以下诸命题等价$

$线性变换是正交变换$

$在线性变换下，向量的内积保持不变$

$线性变换把的标准正交基为标准正交基$